Здесь z есть вектор евклидова пространства R>n, а C — линейное отображение пространства R>n в себя. Если рассматривать задачу в координатной форме, то C есть квадратная матрица высоты и ширины n. Считается, что множество M в линейной игре есть векторное подпространство пространства R>n, а множества P и Q являются компактными выпуклыми подмножествами пространства R>n, размерность которых произвольна.
Для того, чтобы сформулировать результаты, обозначим через π операцию ортогонального проектирования пространства R>n на подпространство L, являющееся ортогональным дополнением к M.
Определим два множества Pτ, Qτ формулами:
Pτ = π ехр τ CP, Qτ = π ехр τ CQ, (7)
где ехр τ CP есть линейное отображение пространства Rn на себя, определяемое известной формулой. Таким образом Pτ и Qτ суть два выпуклых подмножества пространства Rn. Оказывается, что дифференциальная игра преследования имеет положительное решение в случае, если
νQτ Ì Pτ 0 < τ < τ0, τ0 > 0, (8)
где ν — некоторое число, большее 1.
Дифференциальная игра убегания имеет положительное решение, если имеет место включение
νPτ Ì Qτ 0 < τ < τ0, τ0 > 0. (9)
Приведённые здесь формулировки моих результатов преднамеренно несколько огрублены: в них опущены некоторые детали. Сделано это для того, чтобы придать им большую обозримость, чтобы их легче было запомнить. В действительности к съезду в Ницце я имел более полную и точную информацию о процессе преследования, чем описанное здесь.
Следует сказать, что результаты по дифференциальным играм дались мне нелегко. Они потребовали от меня восьми лет напряжённой трудной работы. Работа эта сопровождалась бурными эмоциональными переживаниями. Бывали случаи, когда, обнаружив сделанную мною ошибку, я приходил в полное отчаяние. А её исправление приносило мне, конечно, огромное облегчение и радость. Формулировки результатов не были здесь плодом мгновенного наития, а складывались очень медленно, постепенно, по мере проведения работы.
Даже такая, казалось бы, простая вещь, как расщепление процесса преследования на задачу преследования и задачу убегания, не была получена быстро. Она возникла в результате длительных размышлений, причём существенную роль играли те обсуждения, которые я имел за границей после моих докладов с моими слушателями.
Р. Айзекс, который начал заниматься дифференциальными играми раньше меня, формулировал саму задачу несколько иначе. Он исходил из естественного предположения, что управления u и v в данный момент времени t должны зависеть лишь от состояния объекта, состояния игры, т.е. вектора z(t) в данный момент времени t. В такой постановке задача решается гораздо сложней и трудней, чем в моей (так как я допускаю полное использование процесса преследования, до момента времени t, что очень облегчило решение задачи об убегании).
* * *
За время между конгрессом в Москве и конгрессом в Ницце у меня было пять заграничных поездок: три на юг Европы и две на западное побережье Соединённых Штатов. Кроме того, была ещё одна поездка в Грузию на конференцию в 1969 году. Все эти поездки были интересны, и некоторые сыграли существенную роль в моей научной работе. Некоторые поездки я не могу точно датировать, да это и неважно. Только в одной из них Александра Игнатьевна не смогла принять участие по состоянию здоровья. Это было в январе 1967 года на конференции в Лос-Анджелесе. В остальных Александра Игнатьевна участвовала. Расскажу об этих поездках подробнее.
Очень приятной была поездка в Болгарию на Всеболгарский конгресс математиков в 1968 году, в котором участвовало более ста советских математиков. Он происходил на побережье Чёрного моря в так называемом Международном доме учёных недалеко от Варны. Утро отводилось для моря, а вечером происходили заседания конгресса. Там я сделал большой доклад.
Черноморское побережье Болгарии, имеющее превосходный климат, мне кажется даже более приятный, чем у нас в Крыму, хорошо приспособлено для отдыха. Вдоль побережья расположены небольшие отели, отстоящие друг от друга на значительном расстоянии. Это выгодно отличает устройство болгарских курортов от наших, где устроены большие скопления санаториев и городов, например в Ялте и Сочи. В Болгарии мы таких скоплений не встречали. Болгария получает значительные валютные доходы от черноморского побережья, куда приезжает отдыхать много иностранцев, которые предпочитают болгарское черноморское побережье средиземноморскому побережью. В Болгарии и дешевле, и просторнее, и чище.
