Жизнь Георга Кантора - страница 2

Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.

Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 г. приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−72 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии[2]. Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы[3], также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах[4].

Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы [1] , [4] , [6] и [7] посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же [2] Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления[5]. Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе [5] краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел[6], вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».

С только что упомянутой работой [5] жизнь Кантора начинает выходить за рамки нормального развития талантливого ученого, в которые она вмещалась до того.