Жизнь Георга Кантора - страница 14

, нельзя считать случайностью, что Кантор прошел также схоластическую школу; более, чем в других математических дисциплинах, где на передний план выступают систематически-конструктивное, а часто специфически-вычислительное, способы рассуждений в теории множеств (по крайней мере, в абстрактной) своей общностью, но в то же время своей тонкостью и аналитической расчлененностью напоминают рассуждения схоластической логики и теологии; математическое учение об актуальной бесконечности во многом родственно им также своей смелостью, с другой же стороны, схоластика, подобно математике, ставит перед собой идеал строгости умозаключений. Вообще же для Кантора философия была отнюдь не посторонней областью, в которую приходилось входить ради математических целей; для него обе области были глубоко связаны. У своих читателей он предполагал не только математические, но и философские познания; насколько он считал это существенным, видно из предисловия к отдельному изданию части 5 работы [13], где он объясняет, что писал одновременно для двух кругов читателей: и «для философов, проследивших развитие математики до новейшего времени, и для математиков, знакомых с важнейшими явлениями старой и новой философии».

Из отдельных мест, имеющих философское значение, упомянем замечание в работе [13], ч. 5, о формировании понятий; в противоположность «субстанциальному» пониманию Аристотеля, здесь изображается функциональный процесс в том смысле, как он утвердился в современном учении о формировании понятий у Риккерта, Кассирера и др. Далее, следует отметить, что Кантор упорно и неоднократно боролся (против Гамильтона, Когена и др.) с еще и ныне высказываемой точкой зрения, согласно которой число или понятие величины основывается на понятии времени; в работе [13], ч. 5, он в особенности возражает против учения о времени Канта.

Для общего понимания математики Кантором существенно представление о реальности научных идей (например, целых − конечных и бесконечных − чисел); эта реальность имеет для него двоякий смысл: с одной стороны, как интрасубъективная или имманентная реальность, закрепленная определениями, отводящими соответствующему понятию определенное, отдельное от других понятий место в человеческом мышлении, благодаря чему это понятие «некоторым образом модифицирует субстанцию нашего разума»; с другой же стороны, как транссубъективная или трансиентная реальность, когда понятие является «отражением процессов и отношений в противостоящем интеллекту внешнем мире» (См. [13], ч. 5).

Для Кантора оба вида реальности совпадают, вследствие единства содержащего нас самих всеобщего, и он полагает, что каждому понятию, реальному в первом смысле, присуща также и трансиентная реальность, установление которой составляет часто труднейшую задачу метафизики. Характерное же преимущество математики он усматривает в том, что она «при разработке своего идейного материала должна принимать во внимание исключительно одну лишь имманентную реальность ее понятий, вовсе не будучи при том обязана подвергать их испытанию также в отношении их трансиентной реальности»[38]. На этой характеристике, объясняющей, как ему кажется, «относительную легкость и беспрепятственность занятий математикой, он основывает свое предложение присвоить ее почетное наименование «свободной математики».

Кантор описывает здесь своеобразие и значение математики (и тем самым, можно было бы добавить, также теоретической логики) в чисто рациональном плане, определяя ее, коротко говоря, как ту науку, которая не содержит метафизики; это вовсе не значит, однако, что его отношение к математике было односторонним. Уже два первых тезиса его диссертации показывают, как высоко он ценил ее еще в юношеские годы в эстетическом и этическом отношении: “Eodem modo literis atque arte animos delectari posse” и “Jure Spinosza mathesi eam tribuit, ut hominibus norma et regula veri in omnibus rebus indagandi sit”

Вопреки той уверенности, с которой Кантор усматривал сущность математики в ее свободе, следует заметить, что эмоционально он отнюдь не был склонен признать непротиворечивость единственным критерием существования математических объектов. В самом деле, ведь он пришел к трансфинитным порядковым числам не «свободным путем работы [13], ч. 5, а в некотором смысле вынужденный к этому итерацией построения производных множеств, в частности, стремлением к созданию их общей символики. Точно так же, его чрезмерно резкое отрицание «бесконечно малых», без сомнения, объясняется ощущением преимущества трансфинитных чисел − выводимых из «данных» множеств