(г) Других формул, кроме получаемых по правилам (а), (б) и (в), быть не может.
В этом определении в пункте (в) буквы α и β, не принадлежащие нашему алфавиту (и потому называемые метазнаками[4]), означают произвольные конечные последовательности знаков алфавита.
Данное выше определение формул называется индуктивным. Индуктивные определения широко распространены в современной математике, логике, основаниях математики. Они позволяют вполне точно устанавливать, подпадает ли любой данный объект некоторой области под определяемое понятие. Сформулированное выше определение дает возможность установить, является ли любое данное слово нашего алфавита формулой или нет — установить это, «идя обратным ходом» и рано или поздно добираясь до пропозициональных переменных или констант (если слово окажется формулой).
Ознакомимся подробнее с тем, как «работает» данное определение. Докажем, например, что слово (A1 & ~(A2 V A1) не есть формула. Предположим противное: это слово — формула. Тогда знак & мог возникнуть в ней лишь в результате применения пункта (в) определения формулы. Но это значит, что A1 и ~(А2 V А1 должны быть формулами. Однако хотя А1 и есть формула (по пункту (а) определения), слово ~(A2 V A1 формулой не является, ибо для того, чтобы слово, начинающееся со знака ~, было формулой, необходимо, чтобы справа от него стояла формула. Но слово (A2 V A1 не представляет собой формулы, так как оно могло бы быть формулой только по пункту (в), но тогда в нем крайним справа знаком должна была бы быть правая скобка, чего в действительности нет. Таким образом, (А2 V А1 — не формула, а значит, ~(A2 V A1 не формула и, следовательно, исследуемое выражение в целом — не формула. Однако если бы мы рассмотрели, скажем, слово (А1 & (A2 V A1)), то применяя аналогичное рассуждение, убедились бы, что оно является формулой.
III. Равенства.
Если α и β — формулы, то α = β — равенство. Ничто иное равенством не является.
Условимся о сокращении: вместо двух равенств α = β и β = γ разрешается писать просто
α = β = γ («цепочка равенств»)
Аналогично будут пониматься и более длинные цепочки. Так, запись
α = β = γ = δ имеет смысл
α = β,
β = γ, γ = δ[5]
IV. Постулаты.
[а]. Схемы аксиом.
1. (α & β) = (β & α) (закон коммутативности для конъюнкции).
2. (α V β) = (β V α) (закон коммутативности для дизъюнкции).
3. ((α & β) & γ) = (α & (β & γ)) (закон ассоциативности, или сочетательности, для конъюнкции).
4. ((α V β) V γ) = (α V (β V γ)) (закон ассоциативности для дизъюнкции).
5. (α & (β V γ)) = ((α & β) V (α & γ)) (закон дистрибутивности, или распределительности, конъюнкции относительно дизъюнкции).
6. (α V (β & γ)) = ((α V β) & (α V γ)) (закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции).
7. (α & (α V β)) = α (первый закон поглощения).
8. (α V (α & β)) = α (второй закон поглощения).
9. ~(α & β) = (~α V ~β) (первый закон Де Моргана).
10. ~(α V β) = (~α & ~β) (второй закон Де Моргана).
11. (α & α) = α (закон идемпотентности для конъюнкции).
12. (α V α) = α (закон идемпотентности для дизъюнкции).
13. ~~α = α (закон снятия двойного отрицания).
14. (α & 1) = α (закон отбрасывания единицы).
15. (α V 0) = α (закон отбрасывания нуля).
16. (α & ~α) = 0 (закон противоречия, выраженный в форме приравнивания противоречия нулю).
17. (α & ~α)=1 (закон исключенного третьего, выражений в форме равенства).
Перечисленные постулаты[6] являются не аксиомами, а схемами аксиом. Это значит, что, каждый постулат задает бесконечное множество аксиом определенной структуры. Так, схема аксиом 1 задает аксиомы: (А1 & А2) = (A2 & A1), ((А1 V ~A2) & ~A1) = (~A1 & (A1 V ~A2)) и т.д.; аксиомы — это равенства, принимаемые в качестве исходных.
Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах. Схемы аксиом 3 и 4 выражают ассоциативные законы, подобные ассоциативным законам школьной алгебры, где, как известно, (а • b) • с = а - (b • с) и (а + b) + с = a + (b + с). В школьной алгебре имеется только один дистрибутивный закон — закон дистрибутивности умножения относительно сложения: A •
