Что же касается отношения я, то мы приводим два наиболее часто упоминаемых: «Отношение периметра основания Великой пирамиды к ее удвоенной высоте равно π, и отношение площади ее основания к площади среднего сечения равно π».
Поскольку стороны пирамиды являются треугольниками одинаковой высоты, оба отношения приводятся к одному.
Пусть p — периметр основания. Полагая p = 8b, имеем
Если принять для отношения h/b ранее определенное значение 14/11, то получится: p/h = 4×11/14 = 22/7 = 3,1428 — приближенное значение π. Таким образом, b/h = π/4. Кроме того, мы имеем между π и Φ малоизвестное отношение: 0,618 = 1/Φ = (π/4)>2 = (3.1416/4)>2 = 0,617, т. е. 1/Φ с точностыо до одной тысячной.
С другой стороны,
x/b = Ф, x = Фb и b = x/Ф,
h>2 = bx = x>2/Φ и x = h√Φ,
откуда h/b = √Φ = 4/π.
А так как h/b = 14/11, то √Φ = 14/11, и следовательно, Φ = 1,619.
Отметим еще, что если бы мы захотели получить точное значение π = 3,1416, то для этого необходимо было бы увеличить угол наклона пирамиды на 40″, т. е. получить 51°51′14″. Угол этот Петри назвал «углом π»276. Здесь также достигнуто совершенно поразительное приближение.
В итоге это можно свести к следующему.
Угол наклона 51°49′42″ соответствует равенству Геродота и отношению золотого сечения.
Угол наклона, равный 51°50′35″, соответствует величине отношения апофемы к половине стороны основания, равной >14/>11, и дает π = 3,1416.
Угол наклона, равный 51°50′39″, соответствует величине отношения ребра пирамиды к половине диагонали основания, равной >9/>10.
Угол наклона 51°51′14″ дает π = 3,1416.
Мы не будем принимать во внимание последний угол наклона, поскольку значение 3,1416 для π было в ту эпоху неизвестно277. Максимальное расхождение между тремя первыми значениями π составляет около 1′, что значительно меньше средней погрешности, допускаемой при производстве строительных работ. Эти три угла наклона могут, следовательно, рассматриваться как практически совпадающие, а пропорции и отношения, им соответствующие, как равновеликие.
В то же время очевидно, что при сооружении пирамиды для зодчего наиболее существенным представлялся выбор такого угла наклона сторон, который облегчил бы ее постройку и который легко было бы контролировать. Отношение h/b, т. е. отношение высоты к половине основания, определяющее форму пирамиды, должно было быть простым. Именно таким и являлось отношение >14/>11, принятое для пирамиды Хеопса. Что касается геометрических свойств, присущих всякой пирамиде, имеющей наклон >14/>11, то нам представляется крайне сомнительным, что они могли быть установлены зодчими Хеопса. Во всяком случае о «золотом числе» и отношении π в то время, по всей вероятности, не имелось никаких представлений. С большими оговорками можно еще допустить, что в эпоху Хеопса было известно отношение, упоминаемое Геродотом.
Борхардт полагал, что на выбор зодчего повлияло только удобство отношения >14/>11. Нам представляется, однако, что не такое уж оно простое, чтобы его следовало принять безоговорочно. По нашему мнению, необходимо добавить, что оно соответствует, кроме того, с точностью до 4″ более простому наклону в >9/>10, принятому для ребра пирамиды по отношению к диагонали основания. Одной из сложных проблем для строителей было определение угла наклона ребра, так как именно от него зависели очертания угловых камней, установка которых предшествует кладке облицовки и направляет ее. Этот наклон несомненно легко мог быть определен по углу наклона апофемы, но возможно, что тем не менее представлялось целесообразным определять и контролировать его непосредственно. Поскольку зодчие отдельных пирамид должны были отдать предпочтение углу наклона апофемы или углу наклона ребра, мы увидим, что они колебались в выборе и их усилия были явно направлены на определение угла наклона, дающего для проектирования — одновременно как по апофеме, так и по ребру — по возможности простые отношения.
В первоначальной мастабе Джосера, перекрытой впоследствии ступенчатой пирамидой, наружная облицовка имеет явно выраженный наклон в >4/>1, т. е. наиболее распространенный во многих мастабах, как это отмечает Петри. Что же касается самой ступенчатой пирамиды, то угол наклона ее сторон равен приблизительно 74° или h/b = 7/2. Египтяне, следуя своим правилам, выразили это отношение просто как
