Мне очень хотелось поделиться с сестрами радостями, которые я получал от своих путешествий в Европу, а им, конечно, хотелось к этим радостям приобщиться. Я не стану перечислять здесь в хронологическом порядке все поездки, совершенные мною в одиночестве или вместе с ними, и скажу только, что лето 1922, 1924 и 1925 годов я провел за границей, навещая друзей нашей семьи и своих коллег. За время этих поездок я все чаще и чаще виделся с Леви и завязал новые важные для меня знакомства не только в Англии и во Франции, но и в Германии. Летом 1922 года я оказался в Германии как раз в тот момент, когда там начиналась инфляция, и видел собственными глазами, какое это страшное бедствие.
Все это время я продолжал заниматься теорией потенциала. Моя работа протекала в двух направлениях. Прежде всего, я пришел к новому пониманию связи между значениями электромагнитного потенциала внутри области и его значениями на границе. Как я уже указывал, первоначально предполагалось, что значения электромагнитного потенциала внутри области должны непрерывно переходить в значения на границе и однозначно определяться этими последними. Мне, однако, удалось обнаружить, что в теории потенциала могут быть использованы некоторые понятия, родственные упоминавшемуся раньше обобщенному интегрированию, и что при этом приходится считать, что потенциал внутри области должен определяться значениями потенциалов в окрестности границы и что непрерывность при подходе к границе вполне может и нарушаться. Руководствуясь примером теории обобщенного интегрирования П. Дж. Даниеля, о которой я рассказывал выше, я пришел затем к существенному обобщению ряда понятий теории потенциала, начиная с самых основных понятий заряда и емкости. Основным моим нововведением было то, что зависимость значения потенциала во внутренней точке от граничных значений я рассматривал как некоторое обобщенное интегрирование, а не как простейшую непрерывную связь, при которой значения на границе могут быть получены из внутренних значений с помощью предельного перехода. Такой подход, по существу, означал, что обычная постановка задачи с граничными условиями заменялась обратной постановкой. Как и во многих других математических вопросах, такое обращение точки зрения внесло свежую струю в область исследований, долгое время казавшуюся совершенно мертвой.
Мой старший друг и наставник профессор X. Б. Филлипс из МТИ еще раньше рассматривал величины, аналогичные потенциалу, заданные на квадратной сетке (типа сетки решета) и на некоторых трехмерных структурах, родственных такой сетке. С помощью новых общих понятий теории потенциала мне удалось показать, что его результаты являются важным шагом в построении универсальной теории потенциалов любого рода.
Я полагал, что сумел пополнить арсенал обычных средств теории потенциала значительным числом новых, метких соображений. Применив их к старой проблеме Зарембы, полное решение которой оставалось неизвестным, я выяснил, что не ошибся в своих ожиданиях. Примерно в это же время на страницах «Трудов» (Comptes Rendus) Французской академии наук начали появляться многочисленные статьи по теории Зарембы, принадлежащие Лебегу и его молодому ученику Г. Булигану.
В науке часто бывает, что глубина и большая четкость появляющихся новых статей, не содержащих еще каких-либо особенно важных конкретных результатов, свидетельствуют о том, что в ближайшее время в этой области следует ожидать значительного продвижения. Именно так обстояло дело с работами Лебега и Булигана. Мне было совершенно ясно, что если я немедленно не приложу всех своих сил, то позже это уже может оказаться невозможным из-за того, что весь круг вопросов, связанных с теорией потенциала, будет окончательно вычеркнут из числа тех, в которых еще остаются какие-то проблемы, не разработанные до конца. Поэтому я удвоил усилия, стараясь как можно лучше использовать разработанный мной новый математический аппарат, и вскоре с радостью обнаружил, что получил результаты, которые в то время естественно было считать окончательным решением задачи.
