Блох А. Закон Мёрфи. — Мн.: Попурри, 2005.
Первоисточником закона Мёрфи была не книга Блоха. В ней собраны многочисленные его следствия, но сам закон появился раньше. Блох приписывает его Эдварду Мёрфи, инженеру Лаборатории реактивного движения, так сформулировавшему закономерность в 1949 году: «Если что-то можно сделать неправильно, он так и сделает» (If there is any way to do it wrong, he will). В книге Анны Роу 1952 года формулировка «закона Мёрфи, или четвертого начала термодинамики» звучит так: «Если что-то может пойти не так, это пойдет не так» (If anything can go wrong it will), и она приписывается безымянному физику. Как позже установлено, это был физик Ховард Перси Робертсон, который дал интервью Роу в 1949 году. Однако близкие по смыслу формулировки существовали намного раньше. Например, в 1877 году британский инженер Альфред Холт писал: «Установлено, что, если что-нибудь может в море пойти неправильно, это рано или поздно пойдет неправильно» (It is found that anything that can go wrong at sea generally does go wrong sooner or later).
Raymer D. M., Smith D. E. Spontaneous knotting of an agitated string // PNAS. October 16, 2007. Vol. 104. No. 42. Pp. 162–167.
Полагаю, читатель знаком с понятием множества, а также с отношениями и операциями над множествами: пересечением, объединением и пр. Для понимания книги это не обязательно, но для понимания современной математики строго необходимо. Так что любопытного неофита я отсылаю к списку литературы в самом конце книги, а еще лучше — к преподавателю. Поверьте, если школьного учителя попросить растолковать вам, что такое множества и что с ними можно делать, вы оба получите удовольствие!
Подробнее о собственных масштабах и обезразмеривании задачи мы поговорим в главе 2, когда речь пойдет о бутербродах.
Keller J. B. The probability of heads // American Mathematical Monthly. 1986. Vol. 93. Pp. 191–197.
Напомню, что рациональными называют дроби вида p/q, где p и q — целые числа.
Эти значения приняты с 20 мая 2019 года.
Matthews R. A. Tumbling toast, Murphy’s Law and the fundamental constants // European Journal of Physics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 172–176.
Действительно, 100 бросаний — это мало. А почему и по сравнению с чем мало, мы обсудим в следующей главе.
Сами по себе размерности образуют так называемую свободную абелеву группу, а размерные величины — локально тривиальное расслоение. Я не буду здесь расшифровывать, что означают эти термины: в двух словах это не получится. Пусть для заинтересованного читателя упоминание об алгебраических структурах будет указателем направления, с которого начинается настоящая математика.
Колебания в нашей задаче не гармонические и не синусоидальные, но это не мешает нам складывать такие гармоники. Заменой переменных можно привести их к традиционному для преобразований Фурье виду.
Надо признаться, что эта фраза, ставшая расхожей с легкой руки Марка Твена, не была произнесена Дизраэли, и вообще неясно, кто ее автор.
Earl N., Simmonds I. N., Tapper N. Weekly cycles in peak time temperatures and urban heat island intensity // Environ. Res. Lett. 2016. Vol. 11.
Bäumer D., Vogel B. An unexpected pattern of distinct weekly periodicities in climatological variables in Germany // Geophysical Research Letters. 2007. Vol. 34.
Издана на русском языке: Браст С. Исола. М.: АСТ, 2002.
Более того, критерию Поппера не удовлетворяют такие науки, как математика и логика; впрочем, их относят не к естественным наукам, а к формальным. Однако очень важно понимать, что принцип фальсифицируемости говорит не об истинности теории, а только о том, научна она или нет. Он помогает определить, дает ли некая теория язык, на котором имеет смысл рассуждать о мире, или нет.
Единственность нуля тоже нетривиальна и интересна. Если кто-то из читателей впервые об этом задумывается, то вот вам пища для размышлений: сколькими способами можно построить ноль и единицу в рациональных числах? И будут ли все эти способы соответствовать единственным нулю и единице?
Carlström J. Wheels — On Division by Zero. 2004 // Mathematical Structures in Computer Science. Cambridge University Press, 2011. Vol. 14. No. 1. Pp. 143–184.
Существует также версия (не подтвержденная), что на самом деле автор этой фразы — последний председатель правительства СССР Валентин Павлов. Прим. ред.
Gusev A. A. Multiscale order grouping in sequences of Earth’s earthquakes // Izvestiya, Phys. Solid Earth. 2005. Vol. 41. Pp. 798–812.
Меандр в математике — замкнутая кривая без самопересечений, которая при этом пересекает прямую несколько раз. Прим. ред.
Граф — это еще одна универсальная математическая структура, пожалуй, наиболее общая из всех. Это абстракция структуры как таковой. Теория графов достойна отдельного большого разговора, поэтому я предупреждаю читателя, с ней не знакомого: во-первых, вы рано или поздно с ней обязательно познакомитесь, а во-вторых, получите удовольствие!
С помощью матриц изящно описываются такие полезные понятия, как комплексные числа, вращения, кватернионы, конечные группы и т. д.
Мы получили стационарное состояние в результате многократного умножения матрицы перехода. Это не универсальное свойство стохастических матриц. Если в игре есть безусловные циклы, то многократное перемножение может не дать какой-то одной предельной матрицы, хотя инвариант в этом случае отыскать возможно.
Более того, таким образом определяется операция умножения чисел на самом базовом уровне, так что это аксиома умножения, а не следствие из определения.
Сама идея цепи появилась при работе Андрея Андреевича Маркова над темой, как кажется, весьма далекой от математики: анализом сочетаний гласных и согласных звуков в тексте романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин».
Параметры стационарной M/M/2-очереди можно рассчитать по общим формулам, которые я здесь не привожу из-за их громоздкости.
Cohen J. E., Horowitz P. Paradoxical behavior of mechanical and electrical networks // Nature. 1991. Vol. 352. Pp. 699–701.
Pala M., Sellier H. et al. A new transport phenomenon in nanostructures: a mesoscopic analog of the Braess paradox encountered in road networks // Nanoscale Research Letters. 2012. Vol. 7. P. 472.
Valiant G., Roughgarden T. Braess’s Paradox in large random graph // Random Structures & Algorithms. 2010. Vol. 37. Pp. 495–515.
Рекордной случайной величиной (или просто рекордом) в последовательности случайных величин называется величина, которая превосходит все предыдущие. Вероятность того, что среди n непрерывных случайных величин будет зарегистрировано k рекордов, описывается точно таким же выражением. Подробнее об этом можно прочесть в работе: Balakrishnan N., Nevzorov V. B. Stirling numbers and records // Advances in Combinatorial Methods and Applications to Probability and Statistics. Ed. N. Balakrishnan. Boston: Birkhauser, 1997. Pp. 189–200. Автор благодарит профессора Санкт-Петербургского государственного университета Валерия Борисовича Невзорова за любезно предоставленную информацию.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Издательство иностранной литературы, 1957.
«Магическое число» 4 возникает в сумме биномиальных коэффициентов из того обстоятельства, что любым четырем из этих n точек на окружности соответствует одна точка внутри круга, в которой должны пересечься соединяющие их отрезки. Далее вывод строится на знаменитой формуле Эйлера, связывающей число узлов и ребер некоторого планарного графа с числом областей, на которые он разбивает конечную область (например, сферу).
Guy R. K. The Strong Law of Small Numbers // Amer. Math. Monthly. 1988. Vol. 95.
Guy R. K. The Second Strong Law of Small Numbers // Mathematics Magazine. 1990. Vol. 63.
То, что сумма или разность нормально распределенных случайных величин тоже будет подчиняться нормальному распределению, называется устойчивостью этого распределения. О смысле и ценности этого понятия мы поговорим чуть позже.
Цит. по: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1977. Вып. 1, 2. С. 23–24.
Dragulescu A., Yakovenko V. M. Statistical mechanics of money // Eur. Phys. J. 2000. Vol. B 17. Pp. 723–729.
Ispolatov S., Krapivsky P. L., Redner S. Wealth Distributions in Models of Capital Exchange // Eur. Phys. J. B. 1998. Vol. 2. P. 267.
