Великая Теорема Ферма - страница 62

Еще строже, чем обычный математик, рассуждает тот математик, который специализируется в области математической логики. Математические логики ставят под сомнение даже те идеи, которые другие математики столетиями считали незыблемыми. Например, закон трихотомии утверждает, что каждое целое число либо отрицательно, либо положительно, либо равно нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики всегда молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто никогда не потрудился проверить, так ли это. Логики поняли, что до тех пор, пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться ложным, а если оно окажется ложным, то рухнет все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.

Со времен Древней Греции математика накапливала все больше и больше теорем и высказываний, которые не были строго доказаны. Математики были озабочены истинностью некоторых из них, проникших в математический арсенал без должного анализа, — таких, как закон трихотомии. Некоторые идеи были усвоены очень давно, однако, никто не может быть вполне уверен в том, что они могут считаться доказанными, поскольку в разное время были разные представления об уровне строгости доказательства. Поэтому логики решили проверить доказательство каждой теоремы с самого начала. Но каждая истина должна быть выведена из других истин. В свою очередь те истины сначала должны быть доказаны, исходя из еще более фундаментальных истин, и т. д. В конце концов логики оказались лицом к лицу с несколькими утверждениями, настолько фундаментальными, что вывести их из других утверждений не представлялось возможным. Эти фундаментальные утверждения называют аксиомами математики.

Одним из примеров аксиом может служить коммутативный закон сложения, который гласит: для любых чисел m и n верно равенство

Этот закон и несколько других аксиом принято считать самоочевидными. Они легко могут быть проверены на любых числах. До сих пор аксиомы успешно проходили все проверки и были приняты за основу всей математики. Задача, которую поставили перед собой логики, заключалась в том, чтобы попытаться заново построить всю математику, исходя из этих аксиом. В Приложении 8 приводится набор аксиом арифметики и дается представление о том, как логики намереваются, исходя из них, построить всю остальную математику.

В медленном и болезненном процессе перестройки грандиозного и сложного здания математического знания на основе минимального числа аксиом участвовали очень многие математики. Идея этой перестройки заключалась в том, чтобы обосновать с использованием строжайших стандартов логики то, что математики считали давно известным. Немецкий математик Герман Вейль так описывал настроение того времени: «Логика — это гигиена, правила которой математик соблюдает, чтобы сохранить свои идеи здоровыми и сильными». Кроме того, была надежда, что столь фундаментальный подход позволит пролить свет на еще нерешенные проблемы, в том числе — на Великую теорему Ферма.

Программу обновления математики возглавил один из самых выдающихся ученых XX века — Давид Гильберт. По его глубокому убеждению, все в математике может и должно быть доказано, исходя из основных аксиом. Результат аксиоматического подхода должен был быть доказательно продемонстрирован на двух важнейших элементах математической системы. Во-первых, математика, по крайней мере в принципе, должна быть способна ответить на каждый вопрос в отдельности — это тот самый принцип полноты, который в прошлом требовал введения новых чисел, например, отрицательных и мнимых чисел. Во-вторых, математика должна быть свободна от противоречий, т. е. если истинность некоторого утверждения доказана одним методом, то должна быть исключена возможность доказательства отрицания того же самого утверждения другим методом. Гильберт был убежден, что, приняв всего лишь несколько аксиом, можно ответить на любой мыслимый математический вопрос, не опасаясь впасть в противоречие.

8 августа 1900 года Гильберт выступил с историческим докладом на II Международном конгрессе математиков в Париже. Гильберт сформулировал двадцать три проблемы, имевшие, по его мнению, наибольшее значение. Первые из них были посвящены логическим основаниям математики. По замыслу Гильберта, сформулированные им проблемы должны были привлечь внимание математического мира и стать программой будущих исследований. Гильберт хотел гальванизировать математическое сообщество, чтобы оно помогло реализовать его ви́дение математической системы, свободной от сомнений и противоречий — честолюбивый замысел, суть которого Гильберт завещал высечь на своем надгробии: