В сокровищнице полученных Ферма результатов встречаются различные теоремы — от фундаментальных до чисто занимательных. Математики судят о важности теоремы по тому, какое влияние она оказывает на остальную математику. Во-первых, теорема считается важной, если она представляет собой некую универсальную истину, то есть если она верна для всей группы чисел. В случае теоремы Ферма о простых числах, теорема верна не только для некоторых простых чисел, а для всех простых чисел. Во-вторых, важная теорема должна раскрывать какую-нибудь более глубоко лежащую истину об отношениях между числами. Теорема может быть трамплином для создания целого сонма других теорем и даже стимулом для развития новых областей математики. Наконец, теорема считается важной, если существование целых областей исследования может оказаться под угрозой из-за отсутствия одного-единственного логического звена. Многие математики исходили бессильными слезами при мысли, что могли бы получить важный результат, если бы могли восстановить одно недостающее звено в цепочке логических рассуждений.
Поскольку математики используют теоремы как ступени, ведущие к другим результатам, было чрезвычайно важно доказать каждую из анонсированных Ферма теорем. Использовать Великую теорему только потому, что, по утверждению Ферма, он располагал ее доказательством, было невозможно. Прежде чем пустить Великую теорему в дело, ее необходимо было доказать со всей строгостью, иначе последствия могли быть самыми ужасными. Например, представьте себе математиков, которые приняли одну из теорем Ферма на веру. Эта теорема была бы включена ими как отдельный элемент в целую серию других, более обширных, доказательств. Со временем эти более обширные доказательства были бы включены в еще более обширные доказательства, и т. д. В результате появились бы сотни теорем, которые бы опирались на истинность той самой недоказанной, принятой на веру, теоремы. Но что если Ферма ошибся, и недоказанная теорема в действительности ложна? Все теоремы, в доказательствах которых была бы использована ложная теорема, также оказались бы ошибочными, и огромные разделы математики рухнули бы. Теоремы — фундамент математики: если истинность теорем установлена, то, опираясь на них, можно возводить, пребывая при этом в полной безопасности, новые теоремы. Необоснованные (недоказанные) идеи имеют бесконечно меньшую ценность и называются гипотезами. Любая логика, опирающаяся на гипотезу, сама гипотетична.
Ферма утверждал, что располагает доказательством любого из своих примечаний, поэтому для него все они были теоремами. Но до тех пор, пока математическое сообщество в целом не восстановит каждое доказательство, все утверждения, содержащиеся в примечаниях, рассматриваются лишь как гипотезы. На протяжении последних 350 лет Великую теорему Ферма правильнее было бы называть Великой гипотезой Ферма.
За прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма упорно не поддавалась усилиям математиков. Ее даже стали называть «последней теоремой Ферма», так как она осталась последним его примечанием, которое требовалось доказать. Триста лет все попытки найти ее доказательство одна за другой терпели поражение. Великая теорема ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. Но всеми признанная трудность проблемы не обязательно означает, что Великая теорема Ферма важна в том смысле, в каком это понимается выше. Великая теорема Ферма, по крайней мере вплоть до самого последнего времени, не удовлетворяла нескольким критериям: казалось, что если бы ее удалось доказать, то это не привело бы ни к какому сколько-нибудь заметному прогрессу в развитии теории чисел и не способствовало бы доказательству других гипотез.
Слава Великой теоремы Ферма обусловлена исключительно тем, что доказать ее необычайно трудно. Есть и еще один дополнительный стимул: «князь любителей» заявил, что располагает доказательством этой теоремы, над восстановлением которой с тех пор ломали голову поколения профессиональных математиков. Небрежные замечания Ферма на полях принадлежавшего ему экземпляра «Арифметики» Диофанта читались как вызов всему миру. Ферма доказал свою Великую теорему, удастся ли какому-нибудь математику превзойти или сравняться с ним по блеску ума?
