Великая Теорема Ферма - страница 18

Пифагоровы тройки представляют собой комбинации из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x^>2 + y^>2 = z^>2. Например, соотношение Пифагора выполняется при x=3, y=4 и z=5:

З^>2 + 4^>2 = 5^>2, 9 + 16 = 25

Другой способ получения пифагоровых троек — перестройка квадратов. Если взять квадрат 3×3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4×4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по-новому, так, чтобы они образовывали квадрат 5×5, состоящий из 25 плиток (рис. 4).

Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. Еще одна пифагорова тройка: x=5, y=12 и z=13:

5^>2 + 12^>2 = 13^>2, 15 + 144 = 169.

Приведем пифагорову тройку из больших чисел: x=99, y=4900 и z=4901. По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» — той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного понимания пифагорейских троек, Уайлс скоро обнаружил, что у невинного на первый взгляд уравнения x^>2 + y^>2 = z^>2 имеется и темная сторона — в книге Белла давалось описание математического чудовища.

В уравнение Пифагора входят три числа x, y и z, все три числа входят в квадрате (например, x^>2 = x·x):

Но в той же книге Белла приводилось и уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но отличающееся от него тем, что все числа входят в кубе (например, x^>3 = x·x·x). Так называемая степень переменной x в этом уравнении равна не 2, а 3:

Найти целочисленные решения уравнения Пифагора, т. е. пифагоровы тройки, было сравнительно легко, но стоит лишь степени измениться с 2 на 3 (т. е. заменить квадраты кубами), как решение уравнения, столь похожего на уравнения Пифагора, в целых числах, по-видимому, становится невозможным. Поколения математиков исписывали страницу за страницей в своих блокнотах в тщетной надежде найти решение уравнения в целых числах.

При решении исходного «квадратного» уравнения плитки, из которых состояли два квадрата, требовалось расположить так, чтобы они образовывали третий квадрат более крупных размеров. В случае решения «кубического» уравнения из кубиков, образующих два куба, требуется составить третий куб более крупных размеров. Ясно, что независимо от того, какие два куба выбраны в качестве исходного, из образующих их кубиков можно сложить либо третий куб, причем несколько кубиков останутся «лишними», либо неполный (недостроенный) куб. Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или окажется недостающим. Например, если мы начнем с кубов 63 и 83 то, рассыпав их на кубики, сможем сложим из них кладку, в которой всего лишь одного кубика не хватит до полного куба 93 (рис. 5).

Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по-видимому, невозможно. Иначе говоря, по-видимому, у уравнения

не существует целочисленных решений. Более того, если степень повысить с 3 (куба) до любого большего целого числа (т. е. до 4, 5, 6…), то найти целочисленное решение такого уравнения, по-видимому, также невозможно. Иначе говоря, у более общего уравнения

где n больше 2, решения в целых числах не существует. Всего лишь изменив 2 в уравнении Пифагора на любое целое число бóльшее 2, мы вместо сравнительно легко решаемого уравнения получаем задачу умопомрачительной сложности. Великий математик XVII века француз Пьер де Ферма сделал удивительное заключение: он утверждал, что знает, почему никому не удавалось найти решение общего уравнения в целых числах. По его словам, причина заключалась в том, что такого решения не существует.