Успенский пишет о Колмогорове - страница 8

.    Пожалуй, одной из вершин этой смехотворной агрессивной некомпетентности является знаменитое ленинское заявление: «...ДАЖЕ в математике нужна фантазия, ДАЖЕ для того чтобы открыть дифференциальное исчисление нужна была фантазия»[xvii]. (Эти бессмертные «даже» выделены мною). Позднее, в случае, скажем, Сталина эта первоначальная убеждённость в обладании абсолютной истиной, конечно, померкла перед обладанием абсолютной властью и ощущением полной безнаказанности. И всё же кое-что от этой убеждённости оставалось, например, в знаменитых изысканиях вождя всех народов по языкознанию. Той же породы, видимо, было и настроение, в котором незабвенный А.И. Жданов учил (кажется, даже за роялем) Шостаковича, Прокофьева и Хачатуряна как сочинять хорошую мелодичную музыку...

Неудивительно, что в 20-е годы велик был соблазн применить волшебное Марксово лекарство к лечению математики. Дискуссии по основаниям математики поощрялись и, наряду с тоннами словесного мусора, несомненно, много интересных соображений было высказано в те далёкие, холодные и голодные годы. В своих воспоминаниях о Колмогорове Юшкевич упоминает одну из таких дискуссий и впечатление, произведённое на него безыскусным по форме выступлением Колмогорова, в особенности замечанием о том, что интуиционистская математика только по форме уже классической. Думаю, что это замечание лет на 50 опередило своё время. Во всяком случае, я слышал подобные высказывания только в начале восьмидесятых годов, и делались они на основании огромного технического опыта, накопленного несколькими поколениями исследователей.

Столь же оригинальна и вторая предвоенная логическая статья Колмогорова [10]. Опубликованная семью годами позже, чем [9], на немецком языке, работа посвящена истолкованию интуиционистской логики. Если с семантикой классической логики дело обстояло более или менее благополучно, то вокруг содержания интуиционисткой логики велось немало дискуссий. Говоря очень упрощённо, классическая теоретико-множественная концепция математики, восходящая к Кантору, предполагает некий платонистский, идеальный, завершённый мир, в котором математические объекты существуют независимо от нашего творческого сознания в таком же смысле, как существуют звёзды на небе. Завершённая, актуальная бесконечность является вполне гармоничной идеей для такого мира (в самом деле, например, натуральный ряд в этом завершённом мире тоже должен быть завершённым, актуально бесконечным, иначе придётся допустить существование наибольшего натурального числа, что по меньшей мере странно). Математические утверждения выражают состояния вещей в этом мире и потому они также независимо от нашего сознания, состояния знаний и т.д. либо истинны, либо ложны. Не только абсолютизация экзистенциального статуса математических объектов, но и абсолютизация самого познания доведена в этой концепции до конца. Математические теоремы не столько изобретаются, сколько открываются математиками примерно так же, как открывались мореплавателями новые острова. Ясно, что закон исключённого третьего вполне естественен в этом «чёрно-белом» мире и что классическая логика является, таким образом, логикой теоретических истин, то есть логикой идеализированного математического бытия.  

В контрасте с этой концепцией, интуиционистский математический мир принципиально незавершён, он развивается в результате творческой активности субъекта. Образно говоря, акт Творения математического мира передан от Бога к человеку, точнее к идеализированному человеческому существу, живущему и творящему во времени. От активности и умений такого творческого субъекта и зависит характер соответствующего математического мира. Что же в таком случае выражает интуиционистская логика, эта своего рода конституция интуиционистской математики? Предложенная Колмогоровым концепция исходит из того, что объектами интуиционистской математики, а, следовательно, и логики являются не абсолютные истины (как в традиционном случае), а задачи (проблемы). Логические операторы формируют новые проблемы из уже поставленных, а сами формулы интуиционистской логики выражают умение решить те или иные составные задачи. Таким образом, интуиционистская логика оказывается логикой умений. Закон исключённого третьего теряет при таком подходе свой универсальный характер. Принятие его означало бы постулирование умения решить в каждый момент времени любую задачу, что вряд ли убедительно. Интересной стороной интерпретации Колмогорова является её нейтральность: интуиционистская логика может теперь быть объяснена исследователю, не понимающему сложной философии интуиционизма или просто не заинтересованному в ней. Интуиционистская логика в какой-то мере теряет свой «религиозный», эзотерический характер и становится заманчивым объектом исследования для «обыкновенного» математика. Мне кажется, что значительный прогресс в изучении интуиционистской логики, достигнутый в послевоенные годы (и открывший, помимо прочего, дорогу к практическим её применениям в информатике), в большой степени обязан этому новому подходу, восходящему к Колмогорову.