Все положения, на которые опирается доказательство и из которых — при условии их принятия или признания истинными — необходимо следует истинность доказываемого тезиса, называются основаниями, или аргументами доказательства. Так, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов плоского треугольника основаниями доказательства будет, во-первых, ранее установленное содержание таких понятий геометрии, как «плоский треугольник», «внутренний угол», «смежные углы», «параллельность линий», «внутренние накрест лежащие углы», «соответственные углы». Во-вторых, основаниями доказательства данной теоремы будут некоторые ранее принятые в качестве истинных или ранее доказанные положения геометрии Евклида. Таково принимаемое в геометрии Евклида без доказательства положение, что через точку вне данной прямой в одной с нею плоскости может быть проведена одна и только одна прямая, не пересекающаяся с данной прямой. Таково доказываемое в геометрии Евклида положение о том, что образованные пересечением прямой двух параллельных линий внутренние накрест лежащие и соответственные углы равны между собою. Таково же доказываемое в геометрии Евклида положение о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым.
Основаниями (аргументами) доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника эти положения являются потому, что принятие и доказательство их в качестве истинных с необходимостью приводит к признанию истинным также и положения о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым.
Основания (аргументы) доказательства заключают в своём составе положения различного типа. В число оснований входят: а) положения об удостоверенных единичных фактах; б) определения; в) аксиомы, или постулаты, г) доказанные ранее данной наукой положения, или теоремы.
а) Положения об удостоверенных фактах как основания доказательства
Положения об удостоверенных единичных фактах — чрезвычайно важный вид оснований. За исключением математических наук, опирающихся на факты не непосредственно, но посредством обобщённых понятий об отношениях между объектами, во всех науках доказательство основывается на положениях об удостоверенных — прямо или косвенно— фактах. В огромном числе случаев доказать истинность положения — значит показать, что истинность эта — прямое следствие из положений об известных, хорошо удостоверенных фактах.
И напротив, доказать ложность положения во множестве случаев — значит удостовериться в фактах, противоречащих этому положению.
О значении фактов для доказательства не раз говорили корифеи мировой науки. «Факты.— писал академик И. П. Павлов,— это воздух учёного. Без них вы никогда не сможете взлететь. Без них ваши «теории» — пустые потуги»[13].
И в этом же смысле В. И. Ленин говорил: «Точные факты, бесспорные факты — ...вот что особенно необходимо, если хотеть серьезно разобраться в сложном и трудном вопросе... Факты, если взять их в их целом, в их связи, не только «упрямая», но и безусловно доказательная вещь»[14].
Поэтому безупречность доказательства определяется— в числе прочих условий — уменьем находить факты, либо обосновывающие доказываемое положение, либо не совместимые с ним и тем самым его опровергающие. Особую доказательную силу имеют факты опровергающие. И это вполне понятно. Указания фактов, подтверждающих доказываемое положение, часто бывает ещё недостаточно для строгого доказательства его истинности. Такое указание часто обосновывает истинность положения только в пределах тех фактов, которые были найдены для его подтверждения. Достаточно обнаружить хотя бы один факт, противоречащий доказываемому положению, чтобы обнаружить тем самым полную или, по крайней мере, частичную ложность этого положения.
Если бы факты, подтверждающие доказываемое положение, были сами по себе вполне достаточны для строгого и полного его доказательства, то в таком случае индукция через простое перечисление была бы самым надёжным способом доказательства во всех науках, опирающихся на факты. Известно, однако, насколько ненадёжно, недостоверно всякое обобщение, основывающееся только на том, что в пределах наблюдения пока не обнаружены факты, ему противоречащие. Любой такой факт, найденный впоследствии, сразу опрокидывает или по меньшей мере ограничивает обобщение.
