Постулаты Аристотель отличал от аксиом, но не противопоставлял их аксиомам.
В развитии античной математики после Аристотеля были выработаны три точки зрения по вопросу о различии между аксиомами и постулатами. Эти три точки зрения рассматривает математик и философ Прокл (V век н. э.) в своих «Комментариях» к «Началам» Евклида.
Согласно первой из этих точек зрения, аксиомы — недоказываемые положения, на которые опираются доказательства теорем, а постулаты — недоказываемые положения, на которые опираются построения в геометрии.
Согласно второй точке зрения, аксиомы — допущения, общие для всех наук, а постулаты — специальные допущения, принятые в геометрии. Так, у Евклида в качестве аксиом рассматривались, например, такие положения: «равные одному и тому же равны и между собой», «если к равным прибавляются равные, то и целые будут равные» и т. д. В качестве постулатов у Евклида рассматриваются, например, такие положения: «от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию», «из всякого центра и всяким раствором <циркуля> <может быть> описан круг» и т. д.
Зачатки этого понимания различия между аксиомами и постулатами имелись уже у Аристотеля: «Из тех <начал>,— читаем у Аристотеля,— которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие — общи всем...»[18].
Согласно третьей точке зрения, постулаты — в отличие от аксиом — суть «требования», выдвигаемые преподающим науку или руководителем диспута. Постулаты должны быть приняты учащимися или участниками диспута, несмотря на то, что для них требования эти могут представляться не безусловно бесспорными[19].
Впоследствии возобладал взгляд, согласно которому аксиомами должны называться недоказываемые положения не специальные, имеющие силу для всех наук, постулатами же — недоказываемые положения более частные, относящиеся к области какой-нибудь особой специальной науки. Согласно этому взгляду, положение о том, что две величины, равные порознь третьей, равны между собой, рассматривалось в силу его всеобщности как типичная аксиома. Напротив, положение о параллельных вследствие его специально геометрического характера толковалось как типичный постулат.
Распределение аксиом и постулатов в «Началах» Евклида не вполне соответствует этому различению. Хотя ряд постулатов Евклида принадлежит к области геометрия, а ряд его аксиом — к области более общего учения о величинах, последовательное разграничение аксиом и постулатов по степени их специального характера оказывается невозможным. Так, 7-я аксиома первой книги «Начал», утверждающая, что «совмещающиеся друг с другом равны между собой», есть, конечно, аксиома геометрии. Положение о параллельных, принадлежащее к области геометрии, помещалось Евклидом в числе аксиом (11-я аксиома первой книги«Начал») и только позднейшими комментаторами и издателями стало рассматриваться как постулат (5-й постулат той же книги).
В философии и математике XVII века понимание логической природы аксиом и постулатов изменилось. Ряд математиков и логиков этого века сущность аксиом стал видеть в их будто бы безусловной очевидности или самоочевидности. Согласно этому новому взгляду, аксиомы — такие основания доказательства, которые не доказываются в науке не в силу своей общепринятости, а в силу своей полной и безусловной очевидности. Существуют будто бы такие положения, которые, как только на них направляется наш ум, представляются ему с ясностью и очевидностью, исключающими возможность какого бы то ни было сомнения. Будучи совершенно очевидными, положения эти будто не требуют доказательства, ниоткуда не выводятся, представляют истины, непосредственно постигаемые умом, или, другими словами, являются «интуициями», притом интуициями не чувств, а ума. Аксиомы — не просто недоказываемые истины, какими их считали древние математики. Это — истины будто бы недоказуемые. Не нуждаясь ни в каком доказательстве, они составляют последнюю основу всех доказываемых в науке истин. Доказать — значит вывести доказываемое положение или прямо из таких самоочевидных аксиом, или вывести его из положений, которые если не прямо, то в последней инстанции сами опираются на самоочевидные аксиомы и доказываются с их помощью.
