Напомним некоторые свойства дизъюнктивной нормальной формы.
Свойство 1. В каждый конъюнктивный член (слагаемое) входят все элементарные высказывания либо в виде самого высказывания, либо в виде его отрицания.
Свойство 2. При любых значениях элементарных высказываний в дизъюнктивной нормальной форме может быть истинным не более одного конъюнктивного члена (слагаемого).
Доказательство теоремы о двуслойности персептрона. Из теоремы о дизъюнктивной нормальной форме следует, что любой многослойный персептрон может быть представлен в следующем виде:
(5)
В силу второго свойства дизъюнктивной нормальной формы (5) можно переписать в виде
(6)
Переведем в арифметическую форму все слагаемые в (6). Конъюнкция заменяется умножением, а отрицание на разность: . Произведя эту замену в (6) и приведя подобные члены получим:
(7)
где I>l — множество индексов сомножителей в l-м слагаемом, α>l — число, указывающее сколько раз такое слагаемое встретилось в (6) после замены и раскрытия скобок (число подобных слагаемых).
Заменим i-е слагаемое в (7) персептроном следующего вида:
(8)
Подставив (8) в (7) получим (1), то есть произвольный многослойный персептрон представлен в виде (1) с целочисленными коэффициентами. В качестве персептронов первого слоя используются персептроны вида (8) с необучаемыми весами. Теорема доказана.
Подводя итоги данной главы следует отметить следующие основные свойства персептронов:
1. Любой персептрон может содержать один или два слоя. В случае двухслойного персептрона веса первого слоя не обучаются.
2. Веса любого персептрона можно заменить на целочисленные.
3. При обучении по правилу Хебба после конечного числа итераций возможны два исхода: персептрон обучится или вектор весов персептрона будет повторяться (персептрон зациклится).
Знание этих свойств позволяет избежать «усовершенствований» типа модификации скорости обучения и других, столь же «эффективных» модернизаций.
