В данном разделе приведено доказательство теоремы о числе линейно независимых образов в пространстве k-х тензорных степеней эталонов.
При построении тензорных сетей используются тензоры валентности k следующего вида:
(13)
где a>j — n-мерные вектора над полем действительных чисел.
Если все вектора a>i=a, то будем говорить о k-й тензорной степени вектора a, и использовать обозначение a>⊗k. Для дальнейшего важны следующие элементарные свойства тензоров вида (13).
1. Пусть и , тогда скалярное произведение этих векторов может быть вычислено по формуле
(14)
Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств тензоров общего вида.
2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то скалярное произведение имеет вид:
(15)
Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.
3. Если вектора a и b ортогональны, то есть (a,b) = 0, то и их тензорные степени любой положительной валентности ортогональны.
Доказательство вытекает из свойства 2.
4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть b = λa, то a>⊗k=λ>ka>⊗k.
Следствие. Если множество векторов содержит хотя бы одну пару противоположно направленных векторов, то система векторов будет линейно зависимой при любой валентности k.
5. Применение к множеству векторов невырожденного линейного преобразования B в пространстве R>n эквивалентно применению к множеству векторов линейного невырожденного преобразования, индуцированного преобразованием B, в пространстве .
Сюръективным мультииндексом α(L) над конечным множеством L назовем k-мерный вектор, обладающий следующими свойствами:
1. для любого iL существует j∈{1, …, k} такое, что α>j=i;
2. для любого j∈{1, …, k} существует i∈L такое, что α>j=i.
Обозначим через d(α(L),i) число компонент сюръективного мультииндекса α(L) равных i, через |L| — число элементов множества L, а через Α(L) — множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L.
Предложение 1. Если вектор a представлен в виде , где β>i — произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство
(16)
Доказательство предложения получается возведением в тензорную степень k и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.
В множестве , выберем множество X следующим образом: возьмем все (n-1)-мерные вектора с координатами ±1, а в качестве n-й координаты во всех векторах возьмем единицу.
Предложение 2. Множество x является максимальным множеством n-мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.
Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x — вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все (n-1) — мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n-1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x. Таким образом множество X максимально.
Таким образом в множестве X содержится ровно 2>n-1 вектор. Каждый вектор x∈X можно представить в виде , где I⊂{1, …, n-1}. Для нумерации векторов множества X будем использовать мультииндекс I. Обозначим через |I| число элементов в мультииндексе I. Используя введенные обозначения можно разбить множество X на n непересекающихся подмножеств: P>i = {x>I, |I|=i}, .
Теорема. При k в множестве {x>⊗k} линейно независимыми являются
