Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики - страница 15
Теперь мы можем рассмотреть проблему многих частиц. Мы знаем, что для того, чтобы определить частицу в фазовом пространстве, нам нужно шесть чисел.
Сколько чисел потребуется для двух частиц? Шесть для первой и шесть для второй, то есть 12. Итак, систему из двух частиц можно рассматривать так, будто речь идет об одной частице, движущейся в 12-мерном пространстве. Поскольку уравнения Гамильтона работают для любого числа измерений, мы должны будем всего лишь решить большее число уравнений, и в этом преимущество его математической разработки.
Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что каждый раз, когда мы будем добавлять частицу, нам потребуются еще шесть чисел: три для ее положения и три для ее импульса. Следовательно, для системы из N частиц число координат, которые нам понадобятся, равно 6N. То есть система из N частиц соответствует одной частице, движущейся по пространству из 6N измерений. Хотя в это и не верится, но решить задачу с частицей, движущейся по пространству из 6N измерений, легче, чем задачу с шестью измерениями для каждой частицы.
Положение частицы на фазовой диаграмме можно представить как группу чисел, разделенных запятыми:
r = (q>1, q>2, q>3, p>1, p>2, p>3)
где q обозначает положения, р — импульсы. Чтобы представить две частицы, нам нужно всего лишь удвоить число координат следующим образом:
r = (q>1, q>2, q>3, q>4, q>5, q>6,p>1, p>2, p>3, p>4, p>5, p>6)
где первые три положения соответствуют первой частице, а три следующие — второй; то же самое касается импульсов.
В целом для N частиц положение в фазовом пространстве задано рядом чисел, в котором количество каждой координаты в три раза больше, чем число частиц:
r = (q>1, q>2, q>3… q>3N, p>1, p>2, p>3… p>3N )
Этот набор чисел, разделенных запятой, говорит нам о положении точки в фазовом пространстве, поскольку это аналог точки в трех измерениях, но распространенный на произвольное число измерений. С течением времени частица меняет положение в фазовом пространстве, следуя траектории, которую мы можем вычислить, пользуясь уравнениями Гамильтона.
Описать траекторию частицы в фазовом пространстве — сложная задача, поскольку невозможно представить столько измерений одновременно. Но иногда мы можем ограничиться некоторыми измерениями, например горизонтальным положением и импульсом в этом же направлении.
Самый простой случай — это случай частицы, движущейся в одном измерении, то есть вдоль прямой линии. Несмотря на это ограничение, частица может перемещаться самыми разными способами: она может колебаться вперед и назад или осуществлять ускоренное движение в одном направлении.
Каждому случаю будет соответствовать своя траектория в фазовом пространстве. Изучение этих траекторий позже поможет нам понять некоторые свойства систем с большим количеством частиц, в частности газов.
Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х, сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.
Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.
На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.
Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.
