Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 39

Подведем итог: множество целых решений уравнения Пелля — Ферма образует группу, изоморфную группе ℤ х ℤ/2.

97

Перейдем к уравнениям третьей степени и посмотрим, как можно определить группу на множестве решений уравнения у² = х^>3 + ах + b, где а и b — любые рациональные числа. В этом случае применим чисто геометрические методы. Начнем с того, что представим на плоскости пары вещественных чисел (х, у), которые удовлетворяют соотношению у² = x^>3 + ах + b. Последовательно присваивая значения одной из двух переменных и вычисляя соответствующие значения второй переменной, получим последовательность точек, которые можно соединить отрезками. Результатом будет кривая на плоскости, которая в математике называется эллиптической. Рассмотрим пример. При а = —2 и b — 1 уравнение примет вид y² = x^>3 — 2х +1. Если мы подставим в уравнение х = 0, правая часть примет значение 1, и мы получим уравнение y² = 1. Это уравнение имеет два решения: у = 1 и у = —1. Имеем две точки кривой:(0, 1) и (0, —1).

Если, напротив, х = 1, получим y² = 0, то есть у — 0. Подставим в уравнение х = —1.

Правая часть будет равна (—1)^>3—2 (—1) + 1 = —1 + 2 + 1 = 2, уравнение примет вид y² = 2. Его решениями будут у = √2 и у = —√2. Таким образом, точки с координатами (—1, √2) и (—1, —√2) также будут лежать на кривой. Эти решения не являются целыми, но это не важно — чтобы изобразить кривую на плоскости, нужно учесть все вещественные решения.

Эллиптическая кривая, заданная уравнением y² = х3-2х + 1.

Теперь выберем две точки Р и Q, лежащие на кривой, и соединим их прямой линией. Будем предполагать, что Р и Q несимметричны относительно оси абсцисс,

98

чтобы соединяющая их прямая не располагалась вертикально. Эта прямая пересечет кривую в точке, которую мы обозначим через PQ. Результатом операции над точками Р и Q будет точка Р + Q, симметричная PQ относительно оси абсцисс.

Результат операции сложения для точек P и Q эллиптической кривой.

Необходимо уточнить несколько моментов. Во-первых, прямая, проходящая через точки Р = (x_>1, y_>1) и Q = (х_>2, у_>2), пересекает кривую в некоторой третьей точке.

Так как мы предположили, что эта прямая не располагается вертикально, ее уравнение будет иметь вид у = mх + n, где m и n — вещественные числа. Подставив это выражение в уравнение нашей эллиптической кривой, получим:

(mx + n)² = x^>3 +ax+b.

Путем элементарных преобразований это уравнение можно привести к виду:

х^>3-Ах² + Вх + С = 0, (**)

где A = m², В = a — 2mn, С = b — n². Следовательно, теперь нам нужно вычислить корни многочлена третьей степени с вещественными коэффициентами. Два корня уже известны: это абсциссы x_>1 и х_>2 точек Р и Q, так как обе эти точки одновременно лежат и на кривой, и на прямой. Используем следующую лемму.

99

Докажем лемму. Пусть

Р(х) = x^>3 + Rx² + Sx + Т

многочлен третьей степени с вещественными коэффициентами. Обозначим его корни через x_>1, х_>2, х_>3. Следовательно, Р(х) можно представить в виде

Р(х) = (х - x_>1) (х - х_>2) (х - х_>3).

Выразим коэффициенты многочлена через его корни:

Р(х) = x^>3 — (х_>1 +x_>2 +х_>3)х² +(x_>1 x_>2 +x_>1 x_>3 +x_>2 x_>3)х — x_>1 x_>2x_>3.

К примеру, — R = x_>1 + х_>2 + х_>3. Чтобы получить третий корень многочлена, нужно вычесть —R из первых двух. По условию, и коэффициент R, и корни x_>1 и х_>2 — вещественные числа, следовательно, x_>3 также будет вещественным числом.

По лемме, которую мы только что доказали, существует вещественное число х_>3, которое удовлетворяет уравнению (**).

Подставив это число в равенство у = mx + n, получим координату у_>3 точки PQ. Осталось найти координаты симметричной ей точки — для этого заменим ординату на противоположную. Результатом операции над точками (x_>1, y_>1) и (х_>2, у_>2) будет точка (х_>3, —у_>3).

Мы показали, что точки Р = (0, 1) и Q = (1, 0) принадлежат эллиптической кривой y² = x^>3 —2х + 1. Вычислим координаты точки Р + Q. Для этого сначала нужно найти уравнение прямой, проходящей через Р и Q. Несложно показать, что эта прямая задается уравнением у = —х + 1. Получим уравнение: