Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 28
Условие 3: Допускается брак между любым мужчиной и дочерью брата его матери.
Это условие означает коммутативность композиции f и g. Следовательно, чтобы изучить все возможные модели обществ, которые удовлетворяют нашим трем условиям, нам нужно как-то классифицировать абелевы подгруппы симметрической группы, порожденные двумя элементами. Посмотрим, как выглядят эти подгруппы:
Обозначим через Н группу, порожденную f и g. Первый возможный случай таков: один из двух элементов можно получить, возведя другой в определенную степень. В этом случае включать такой элемент в число порождающих элементов группы Н не требуется: его можно получить из другого элемента. Таким образом, имеем подгруппу, порожденную единственным элементом, то есть циклическую группу.
Предположим, что это не так, то есть f и g не зависят друг от друга. По определению, элементами Н будут все возможные цепочки операций над f и g, к примеру:
f * g * g * f * g
Порядок следования элементов будет произвольным, но так как мы предположили, что композиция f и g коммутативна, мы можем воспользоваться свойством ассоциативности, применить равенство f*g = g*f и попарно объединить элементы так, что все f и все g будут расположены рядом. Пример:
f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f>2*g>3
Так как этот метод корректен для любого элемента H, мы доказали, что любой элемент Н можно записать в виде f>n * g>m, где n и m — неотрицательные целые натуральные числа (они могут равняться нулю). Как правило, из соображений удобства указывают, что и f>n, и g>m — нейтральные элементы. Таким образом, когда верхний индекс одного члена обнуляется, результат операции равен степени другого члена.
Вместо f>n * g>m мы могли бы записать (f>n, g>m), при этом в структуре Н не произошло бы каких-то существенных изменений. Эта операция очень похожа на произведение двух циклических групп, однако члены f>n * g>m могут повторяться, даже если
72
порядок f и g будет больше, чем n и m соответственно. Чтобы показать, что Н — это произведение двух циклических групп[6], нужно выполнить еще несколько действий:
Предложение 1. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, является либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп.
Это предложение — частный случай теоремы о структуре конечнопорожденных абелевых групп, по которой такие группы изоморфны прямому произведению
ℤ × ... × ℤ × ℤ/n>1 × ... × ℤ/n>k
где ℤ — группа целых чисел, a ℤ/n>1 ..., ℤ/n>k — циклические группы. Число копий ℤ, приведенных в произведении, называется рангом группы и отлично от нуля тогда и только тогда, когда группа является бесконечной.
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:
Переставим их двумя возможными способами:
Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.
ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет
73
показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =
= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:
(Mt) мужчина А и женщина D
(M>2) мужчина В и женщина С
(M>3) мужчина С и женщина В
(M>4) мужчина D и женщина А
В этом случае кланы А и D, равно как и В и С, обменялись женщинами, следовательно, мы имеем дело с ограниченным обменом. Предположим, что дети матерей из кланов А, В, С и D принадлежат к кланам В, A, D и С соответственно. Мы можем определить функции f и g прежним образом:
Обратите внимание, что f — та же перестановка, что и в предыдущем примере, а перестановка g изменилась. Но и в этом случае их композиция коммутативна: 11
