Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - страница 18

Преобразования R(SR) и (RS)R совпадают.

ЛЕВИ-СТРОСС: Столько информации! У меня голова идет кругом!

ВЕЙЛЬ: Неудивительно. Предлагаю вам представить результаты в «таблице умножения», подобной той, что мы учили в школе. В каждой клетке запишем композицию преобразований, указанных в соответствующей строке и столбце. Первой всегда будет преобразование, указанное в столбце, как показано стрелкой.

49

Пока что я записал в таблице только те преобразования, результат которых мы уже знаем: композицией любого преобразования и тождества будет исходное преобразование, RSR = S, a R^>3 = S^>2 = I. Эти результаты позволяют нам найти результат, например SRSR. Так как мы можем расставить скобки произвольным образом, получим: SRSR = S(RSR). Согласно приведенным выше равенствам, RSR = S, следовательно, SRSR= SS = S^>2 — это тождественное преобразование, так как порядок симметрии S равен двум. Следовательно, SRSR = I. Но таблица еще не закончена. Не хватает еще нескольких композиций, в частности SRS. Чтобы определить ее результат, напомню, что RSR = S. Если приписать в обе части равенства R^>2, получим R^>2RSR = R^>2S. Мы знаем, что R^>2R = R^>3 = I, следовательно, SR = R^>2S.

Мы получили еще одну композицию, результат которой известен. Мы по-прежнему можем приписать S в обе части равенства, на этот раз — справа. Получим SRS = R^>2S^>2, но так как S^>2 = I, имеем SRS = R^>2. Добавим результаты в таблицу.

Но таблица все еще не закончена: не хватает композиций R^>2SR, SR^>2, RSR^>2, RSRS и SR^>2S. Их результаты можно получить на основе тех, что приведены выше — попробуйте сами! К примеру, R^>2SR совпадает с R(RSR). Но мы знаем, что RSR = S, следовательно, R^>2SR = RS. Аналогично:

SR^>2=(SR)R=(R^>2S)R=R(RSR)=RS,

50

ведь мы уже доказали, что SR = R2S. Я уже провел самые сложные вычисления, и все остальные расчеты вы можете выполнить самостоятельно. Попробуйте и поймете, удалось ли вам понять описанный метод. Как бы то ни было, важно, что эта таблица содержит всю информацию о множестве преобразований, оставляющих треугольник неизменным: что это за преобразования, каковы их композиции, какой порядок они имеют (то есть сколько раз их нужно выполнить последовательно, чтобы получить тождественное преобразование).

Таблица преобразований треугольника.

ЛЕВИ-СТРОСС: Господин Вейль, возможно, это прозвучит глупо, но пока вы заполняли таблицу, я вспомнил «Меланхолию I» Дюрера, одну из трех его «Мастерских гравюр», где изображена крылатая фигура, погруженная в раздумья о геометрии. Как вам известно, на гравюре можно видеть магический квадрат. Сумма чисел во всех его строках, столбцах, а также на диагоналях и некоторых других линиях одинакова и равна 34. Имеет ли этот магический квадрат что-то общее с вашими таблицами умножения?

51

ВЕЙЛЬ: Боюсь, что почти ничего. Важнейшее отличие между ними заключается в том, что в нашей «таблице умножения» все строки и столбцы содержат одни и те же элементы, а в магическом квадрате числа никогда не повторяются. В первой строке квадрата Дюрера записаны числа 16, 3, 2 и 13, во второй — 9, 10, 11 и 8: квадрат красив как раз тем, что все числа в нем различны. Наша таблица скорее напоминает латинский квадрат: символы содержатся в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Пример:

Далее я объясню, что таблица умножения для группы с конечным числом элементов всегда будет латинским квадратом.

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно. Давайте вернемся к группам.

ВЕЙЛЬ: Я привел столь подробный пример с преобразованиями треугольника для того, чтобы теперь мы смогли вместе определить их внутреннюю структуру, то есть то общее, что остается, когда мы отбросим все частные случаи. Не будем откладывать дело в долгий ящик и начнем с того, что избавимся от треугольника.

Напомню, что предмет нашего изучения — не фигура сама по себе, а ряд ее преобразований, которые мы обозначили через R, S и так далее. Заменим их произвольным множеством элементов (конечным или бесконечным), которое будем обозначать буквой G. В примере с преобразованиями треугольника мы можем объединить два движения так, что получится третье, которое будет обладать теми же свойствами. Сохраним это условие: для каждой пары элементов G должна быть определена операция, результат которой также будет принадлежать G. Ранее мы обозначали эту операцию, просто записывая два члена рядом. Теперь введем для обозначения этой операции какой-нибудь новый символ, например *. Так, а * b будет обозначать результат умножения а на b согласно свойствам групповой операции.