Чего мы ожидаем от аксиом
Благодаря новой концепции аксиом и доказательств, те теории, в которых немногие очевидные истины занимали привилегированное положение, стали более демократичными системами. В этих системах любые высказывания могут быть названы аксиомами. Однако это верно лишь априори, поскольку неразумно допускать, чтобы грудной ребенок был избран премьер-министром, и столь же неразумно выбирать аксиомы совершенно произвольно. Подобные ограничения никак не умаляют полезность и аксиоматических теорий. Евклид четко понимал, как следует выбрать аксиомы, но когда использовать повседневный опыт оказалось невозможно, пришлось определить формальные критерии корректности аксиом: непротиворечивость, рекурсивную перечислимость и полноту.
Чтобы объяснить, что означает непротиворечивость системы аксиом, немного пофантазируем о технологиях будущего. Мы легко можем предположить, что через сто лет группа ученых создаст всеразрушающий снаряд, способный в мгновение ока уничтожить любой предмет. Мы также можем представить, что, создав новые сплавы, другая группа ученых спроектирует самолет, неуязвимый для любого оружия.
Каждое из этих утверждений вполне допустимо, например, в научно-фантастическом фильме, однако в сценарии вряд ли обе эти гипотезы будут выполняться одновременно, поскольку если кто-то выстрелит всеразрушающим снарядом по неуязвимому самолету, мы столкнемся с парадоксом.
В общем случае говорят, что множество аксиом является непротиворечивым, если оно не порождает противоречий, то есть если из него нельзя вывести некоторое высказывание и его отрицание одновременно. Так, аксиомы «существует всеразрушающий снаряд» и «существует неуязвимый самолет» противоречивы, так как из первой следует, что при ударе снаряда самолет разрушится, а из второй — что самолет останется неповрежденным. Требование непротиворечивости — минимальное требование к аксиомам, но проблема заключается в том, что гарантировать непротиворечивость системы аксиом часто можно только с помощью более сложных теорий, непротиворечивость которых ставит больше вопросов, чем ответов. Эта гигантская черепаха, которая стоит на другой черепахе, та — на третьей и т. д. до бесконечности, будет одним из чудовищ, с которым придется сразиться героям нашей истории.
* * *
В ПРОТИВОРЕЧИВОЙ СИСТЕМЕ АКСИОМ ЛЮБОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ТЕОРЕМА
Допустим, что мы хотим доказать истинность высказывания Q. Так как система аксиом противоречива, существует теорема Р, отрицание которой, не-Р, также будет теоремой. Это означает, что можно найти доказательства Р и не-Р. Как мы уже говорили, когда речь шла о правилах вывода, заключение «Если Р и не-Р, то Q» является корректным, так как исходные посылки никогда не выполняются одновременно. Так как в противоречивой системе аксиом Р и не-Р — теоремы, объединив правило вывода «Если Р и не-Р, то Q» и доказательства Р и не-Р, с помощью modus ponens можно показать, что Q — теорема. Иными словами, сколь бы невероятным это ни казалось, в мире, где ноль равен единице и одновременно отличается от нее, вы — мой отец (даже если вы — женщина). Ex contradictione… — из противоречия следует все что угодно.
* * *
Чтобы объяснить понятие полноты, оставим в стороне научную фантастику и воспользуемся примером, который мне подсказало одно из произведений аргентинского писателя Гильермо Мартинеса. Представьте, что в закрытой комнате совершено убийство. Прибыв на место преступления, полиция обнаруживает рядом с трупом двух подозреваемых. Каждому из них известна вся правда о том, кто же убийца. Тем не менее если подозреваемые не признаются, полицейским придется начать поиски отпечатков пальцев, следов ДНК и любых других косвенных доказательств, которые позволят вынести обвинение. Если же эти поиски ни к чему не приведут, то подозреваемые будут выпущены на свободу.
Или: после тяжелого рабочего дня полицейские отправляются в бар, чтобы расслабиться. Один из них только что поступил на службу, и остальные едва знакомы с ним. Судя по тому, что он рассказывает сослуживцам, он родился в Саламанке, затем его семья сразу же переехала в Барселону, потому что его родители хотели жить у моря. При этом его коллеги не могут понять, женат он или нет. Нет сомнений в том, что на этот вопрос существует только один правильный ответ.
