Teopeма Гёделя - страница 9
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих различие между математикой и метаматематикой. Скажем, выражение «2+3=5» принадлежит математике (арифметике) и строится исходя лишь из элементарных арифметических символов, в то время как высказывание «„2+3=5“ есть арифметическая формула» утверждает нечто об этом выражении. Оно само по себе не выражает никакого арифметического факта и не принадлежит формальному языку арифметики, а относится к метаматематике, характеризуя некоторую строчку, составленную из арифметических символов, как формулу.
Формулы
x = x,
0 = 0,
0 ≠ 0
принадлежат математике (арифметике); каждая из них составлена из одних только арифметических знаков. Высказывание же «„x“ есть переменная» относится уже к метаматематике, поскольку оно характеризует некоторый арифметический символ, утверждая, что он принадлежит некоторому специальному классу символов (а именно, классу переменных). Принадлежит метаматематике и высказывание «формула „0 = 0“ выводима из формулы „x = x“ посредством подстановки „0“ вместо переменной, x“», описывающее определенное отношение между некоторыми двумя формулами. Относится к метаматематике и утверждение «„0 ≠ 0“ не есть теорема», гласящее, что некоторая арифметическая формула не может быть выведена из аксиом арифметики. Метаматематике, конечно, принадлежит и высказывание «арифметика непротиворечива» (иными словами, из аксиом арифметики нельзя вывести двух взаимно противоречивых формул, например формул «0 = 0» и «0 ≠ 0»). Ясно, что это высказывание гласит нечто об арифметике, а именно, оно утверждает, что пары арифметических формул определенного вида не находятся в определенном отношении к формулам, составляющим систему аксиом арифметики.
>Следует отметить, что все эти метаматематические высказывания не содержат никаких математических знаков и формул, а содержат лишь их имена. Различие между выражениями и именами выражений очень важно. Кстати, и в обычном разговорном языке никакое предложение не содержит объектов, о которых в нем говорится, — оно содержит лишь их имена. Скажем, когда мы говорим о каком-нибудь городе, то мы вставляем в предложение не сам город, а его имя (название). Точно так же, если мы хотим сказать что-нибудь о каком-либо слове (или вообще любом языковом выражении), то мы должны использовать в качестве члена предложения не само слово/выражение, а его имя. Обычно это делается при помощи кавычек. Наше изложение как раз и следует этому обычаю. Мы можем сказать, например, «Чикаго — большой город». Но фраза «Чикаго состоит из трек слогов» бессмысленна (безграмотна). Чтобы выразить последнее утверждение правильно, мы должны написать: «„Чикаго" состоит из трех слогов».
>Точно так же неверно было бы написать:
>«x = 5 есть уравнение».
>Правильная запись такова:
>«„x = 5" есть уравнение».
Конечно, различие между теорией и метатеорией может относиться не только к математике — ведь это просто хорошо известное всем нам различие между каким-либо изучаемым нами предметом и разговорами об этом предмете. Например, высказывание «у птиц из рода плавунчиков яйца высиживают самцы» относится к предмету, изучаемому зоологами, и принадлежит зоологии; но если мы скажем, что утверждение относительно плавунчиков показывает, что в зоологии есть много загадочного, то это уже будет утверждение не о плавунчиках, а о предыдущем высказывании, и дисциплину, в которую входит такое суждение, следовало бы назвать метазоологией.
Точно таково же соотношение между математикой и метаматематикой: предмет первой составляют сами формальные системы, которые придумывают математики, предмет второй — описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств.
