Синергетика. Основы методологии - страница 17
В этом случае p>1, …, p>n суть вероятности элементарных исходов ω>1, …, ω>n или просто элементарные вероятности.
Каждому множеству A из ξ(Ω) поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью реализации совокупности исходов. Оно определяется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в A:
где i>k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность A>j.
Если P(A) > 0, то частное Р(В\А) = Р(АВ)/Р(А), где AB — пересечение множеств А и В, называется условной вероятностью реализации совокупности исходов В при условии реализации совокупности исходов. Отсюда непосредственно следует, что Р(АВ) = Р(В\А)Р(А).
Заключение по индукции даёт общую формулу Р(А>1А>2…А>n) = Р(А>1)Р(А>2\А>1)P(A>3\A>2\A>1)…Р(А>n\А>1…А>n-1) (теорема умножения).
Отсюда получаем Р(А\B) = Р(А)Р(В\А)/Р(B), и далее формулу полной вероятности Р(В) = P(A>1)P(B\A>1) + P(A>2)P(B\A>2) +…+ P(А>n)P(B\А>n),
где А>1+А>2+…+ А>n = Ω и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:
Введение вектора α = {α>1}, где α>i =Υр>i, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.
Каждому множеству А из ξ(Ω) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:
где i>k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность А>j. Ар(Ω) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]>2 =[Ар(А)]>2 + [Ар(В)]>2.
Каждому множеству А>j, состоящему из m>j элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый m>j-мерный евклидов вектор Ар(А>j) = {a>jk} k = 1,…,m>j, модуль которого равняется
При этом разложение множества А>j на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора
на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, е>j — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.
Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:
Пусть дана однозначная функция s(ω) исхода бифуркационного события ω. Тогда функция Р>s, определённая формулой Р>s(А) = Р{s>-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АР>s амплитудой вероятностной функции s.
Функция F>s (S) = Р>s (-бесконечность, S) = Р {s(ω) < S} называется функцией распределения случайной величины s.
Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.
Точка на этой спирали может быть описана спиральным комплексным числом с единичным модулем e>2ms/h. Проекцией каждого такого числа на комплексную плоскость является точка на окружности единичного радиуса, описываемая алгебраическим комплексным числом e >iθ.
Как величина действия s. так и величина периода действия h, могут быть приняты в качестве параметра целого при исследовании системы на ранних стадиях.
Следующим шагом в анализе бифуркационного события является введение в рассмотрение, по аналогии с действительным вектором вероятности, комплексного волнового вектора Ψ.
Рассмотрим первоначально компоненты этого вектора. Каждому элементарному исходу бифуркационного события (каждому элементу ω>i) сопоставим единичный вектор e>j направленный вдоль оси абсцисс комплексной плоскости z>i.. В этом случае можно ввести собственный волновой вектор данного исхода бифуркационного события
принимающий значения в любой точке единичного круга комплексной области z>i, включая его центр (в случае невозможности данного исхода) и окружность единичного радиуса (в случае неотвратимости наступления события). Наряду с этим вводим единичный комплексный собственный вектор.
