Нерешенная проблема — как стена. Математики, которые подступаются к ней, должны обладать соответствующим арсеналом, чтобы снести ее. Некоторые задачи просто нельзя разбить с помощью примитивного "оружия". Точно так же, как римская катапульта была бы абсолютно бесполезна против современного авианосца, некоторые математические инструменты не годятся для решения определенных проблем, и ученым приходится ломать себе голову, изобретая новые стратегии атаки и новое вооружение. Современная история математики — это в значительной мере история изобретения более совершенного арсенала.
У Ферма было такое оружие, о котором одно или два предыдущих поколения даже не мечтали; но его было недостаточно, чтобы решить его задачу. С другой стороны, вполне вероятно, что он этого не знал. Возможно, тулузский юрист был ослеплен блеском стали того арсенала, который изобрел его выдающийся предшественник Виет, а также он сам, и не подозревал, что не все стены разрушаются под его ударами. Девизом Виета была фраза: Nullum problema solver ("Нет проблем без решений"). Сегодня оптимизм ученого можно назвать чрезмерным, но тогда никто этого не знал.
Математики используют в своих доказательствах не меньшее количество стратегий, чем полководцы в битве, а возможно, даже и большее. Во времена Ферма число стратегий значительно увеличилось с изобретением символической алгебры; одну из тех, что использовал Ферма, изобрел он сам: метод бесконечного спуска, который происходит из доказательства от противного. В общих словах данный метод заключается в том, чтобы принять за гипотезу тезис, противоречащий теореме, которую мы хотим доказать, и искать свойство, справедливое для заданного числа п. Затем доказывается, что если данное свойство справедливо для числа n, оно также справедливо для числа меньше n, как правило n - 1.
Но здесь возникает проблема! Если это так, то существует бесконечная последовательность натуральных чисел, каждый раз все меньших, а мы знаем, что это не так. Самое маленькое натуральное число равно 1. Таким образом, у нас есть противоречие, из которого следует, что наша гипотеза ошибочна.
Так Ферма доказал, что его знаменитая теорема истинна по крайней мере для частного случая, при n = 4, в записи, которая почти поместилась на другом поле той же самой "Арифметики" Диофанта. И мы говорим "почти", потому что Ферма опустил, как обычно, некоторые этапы доказательства.
Мало что еще можно сказать о работе Ферма над доказательством его легендарной теоремы, поскольку он практически больше ничего не оставил на эту тему; зато мы можем проследить ее судьбу в течение тех 350 лет, которые Ферма не мог увидеть.
ОТ ЭЙЛЕРА ДО СОФИ ЖЕРМЕН
Как уже было сказано, Великая теорема Ферма стала известна после его смерти. С другой стороны, теория чисел, над которой работал математик, не имела большого успеха среди его современников, так как они больше интересовались другими математическими проблемами того времени. Поэтому публикация комментариев Ферма к "Арифметике" Диофанта не имела большого резонанса. Ученые того времени не понимали его увлеченности этими "бессмысленными" задачками, которые казались больше похожими на загадки и головоломки, чем на важные математические проблемы.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) был знаковой фигурой в математике XVIII века. Его работы посвящены практически всем областям математики, существовавшим в тот момент, а также разнообразным проблемам физики и ряда других наук.
Эйлер занимал выдающиеся должности в академиях наук России и Пруссии во время правления Екатерины Великой и Фридриха II, где он общался на равных с королями и мыслителями уровня Вольтера. Ученый был одноглазым и в конце концов полностью потерял зрение, но это не помешало ему каждую неделю писать по статье.
У него была чудесная память, которая позволяла ему доказывать теоремы в уме, а также без проблем читать наизусть"Энеиду" от начала и до конца. Рассказывают, что когда Екатерине надоели атеистические рассуждения Дидро, она попросила Эйлера унизить его публично. Тот подошел к философу и выпалил:
