1. Самая простая логическая «группировка» — это «группировка» классификации, или иерархического включения классов. Она покоится на первой основной операции — объединении индивидов в классы и классов между собой. Классическим образцом такой «группировки» являются зоологические или ботанические классификации, однако по той же дихотомической схеме строятся и любые другие качественные классификации.
Возьмем вид А, составляющий часть рода В семейства С и т. д. В род В, помимо А, входят и другие виды: назовем их А' (при этом А' = В — А). Аналогично и семейство С будет включать, помимо В, и другие роды: назовем их В' (где В' = С — В) и т. д. Мы имеем тогда композицию: А + А' = В; В + В' = С; С + С' = D и т. д.; обратимость: В — А' = А и т. д.; ассоциативность: (А + А') + В' = А + (А' + В') = С и т. д., и все остальные признаки группировки. Именно эта первая группировка и порождает классический силлогизм.
2. Вторая элементарная «группировка» использует операцию, состоящую не в объединении индивидов, рассматриваемых как эквивалентные (как в первой группировке), а в соединении асимметричных отношений, которые выражают различия этих индивидов. Объединение этих различий предполагает тогда последовательный порядок, и, следовательно, «группировка» образует «качественную сериацию».
Если отношение 0 < А назвать а, отношение 0 < В — b, а отношение 0 < С — соответственно с, то отношение А < В можно назвать тогда а', отношение B < С — b' и т. д., и мы получаем группировку а + а' = b; b + b' = с и т. д. Обратная операция состоит в вычитании отношения, что эквивалентно прибавлению обратного отношения. Группировка эта, таким образом, параллельна предыдущей, с той единственной разницей, что операция сложения в этом случае включает порядок последовательности (и, следовательно, не является коммутативной); на транзитивности, свойственной этой сериации, основывается умозаключение А < В, В < С, следовательно А < С.
3. Третья основная операция — это операция замещения, основа эквивалентности, которая объединяет в составной класс различные простые классы, полученные в результате предшествующего объединения.
В самом деле, между двумя элементами А>1 и А>2 одного и того же класса В нет такого же равенства, какое имеет место между равными числами в математике; в этом случае мы имеем дело просто с качественной эквивалентностью, т. е. возможным замещением, но лишь в той мере, в какой можно заменить А>2 (т. е. «другие» по отношению к А>2 элементы) на А>1, (т. е. «другие» по отношению к А>1 элементы). Отсюда группировка: А>1 + А'>1 = А>2 + А'>2 (= В); B>1 + B'>1 = B>2 + B'>2 (= С) и т. д.
4. Если операции предшествующей «группировки» перевести в отношения, то они порождают реципрокность, свойственную симметричным отношениям. Эти последние являются не чем иным, как отношениями, объединяющими между собой элементы одного и того же класса, т. е. отношениями эквивалентности (в противоположность асимметричным отношениям, которые выражают различие). Симметричные отношения (например, родственные отношения между братьями, двоюродными братьями и т. п.) группируются, следовательно, по образцу предшествующей «группировки», но обратная операция в этом случае идентична прямой, что выражается, по существу, в самом определении симметрии: (Y = Z) = (Z = Y).
Четыре рассмотренные группировки — это «группировки» аддитивного порядка, причем две из них (первая и третья) относятся к классам, а две другие — к отношениям. Существуют, кроме того, еще четыре «группировки», в основе которых лежат мультипликативные операции, т. е. операции, относящиеся одновременно к более чем одной системе классов или отношений. Эти «группировки» строго соответствуют первым четырем.
5. Прежде всего, если дано два ряда включенных друг в друга классов А>1B>1C>1… и А>2B>2C>1…, то можно располагать индивиды, исходя из двух рядов одновременно: в этом состоит метод таблиц с двойным входом. «Мультипликация классов», которая образует операцию, свойственную этому роду группировки, играет существенную роль в механизме интеллекта; именно ее под названием «выявление коррелят» описал в психологических терминах Спирмен.
