запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?
Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило
>1/>2 + >1/>4 + >1/>6 + >1/>8 + >1/>10 + >1/>12 + >1/>14 + >1/>16 + … + >1/>102.
Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде
>1/>2∙(1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + >1/>8 + … + >1/>51).
Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы
>1/>2∙(1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + >1/>8 + … + >1/>99).
Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в
>1/>2∙(1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + >1/>8 + … + >1/>999999999999).
Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.
Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.
Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.
III.
Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно
1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + ….
Математики говорят, что это — ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, >1/>2, >1/>3, >1/>4, >1/>5, >1/>6, >1/>7, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
Ряд 1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + … играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.
Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.
Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:
1 + >1/>2 + >1/>3 + >1/>4 + >1/>5 + >1/>6 + >1/>7 + … = ∞.
Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.
Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?
