Система задач 1.3.
Ответы для обеих задач можно найти в табл. 3 на стр. 61.
Система задач 1.4.
1. Предположим, что верно соотношение
T>n>-1 = 1/2 (n-1) n.
Можно проверить его для n= 2, 3, 4. Из рис. 4 видно, что Т>n получается из T>n>-1 прибавлением числа n, поэтому
Т>n= Т>n-1 + n = 1/2 n (n + 1).
2. Из рис. 5 видно, что для того, чтобы получить Р>n, нужно прибавить к Р>n>-1 число
1 +3 (n — 1) = Зn — 2.
Если мы уже знаем, что
P>n>-1 = 1/2 (3 (n — 1)>2 — (n — 1))
(это справедливо для п = 2, 3, 4, в соответствии с последовательностью (1.4.3)), то отсюда следует, что
Р>n = P>n>-1 + 3n — 2 = 1/2 (Зn>2 — n).
3. Мы можем получить n-е k-угольное число из (n — 1) — го, прибавив к нему
(k — 2) (n — 1) + 1
и выводя формулу таким же способом, как и в задаче 2. Задачи 2 и 3 могут быть решены иначе: делением точек на треугольники, как указано на рис. 5, и использованием формулы для Т>n. Проведите это доказательство во всех деталях.
Система задач 1.5.
1. Например, квадрат
>16 3 2 13
> 9 6 7 12
> 5 10 11 8
> 4 15 14 1
полученный перестановкой второй и третьей строк квадрата Дюрера, также является магическим. Менее тривиальным является квадрат
>16 4 1 13
> 9 5 8 12
> 6 10 11 7
> 3 15 14 2
2. Так как числа в квадрате 4 × 4 не превышают 16, возможны лишь два года, 1515 и 1516. Первый, очевидно, исключается, во втором случае построить квадрат оказывается невозможным.
Система задач 2.1.
2. 1979.
3. Числа от 114 до 126 все составные.
Система задач 2.3.
1. n = 3, 5, 15, 17,51,85
2. Имеем
360°/51 = 6 360°/17 — 360°/3.
3. Количество различных произведений чисел Ферма (от одного до пяти чисел в одном произведении) равно
5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31.
Таково количество чисел, для которых могут быть построены многоугольники. Наибольшим значением является
n = 3 • 5 • 17 • 257 • 65537 = 4 294 967 295.
Система задач 2.4.
1. В каждой из первых десяти сотен имеется соответственно 24, 20, 16, 16, 17, 14, 16, 14, 15, 14 простых чисел.
2. Существует 11 таких простых чисел.
Система задач 3.1.
1. 120 = 2>3 • 3 • 5; 365 = 5 • 73; 1970 = 2 • 5 • 197.
3. 360 = 2 • 2 • 90 = 2 • 6 • 30 = 2 • 10 • 18 = 6 • 6 • 10.
Система задач 3.2.
1. Простое число имеет два делителя; р>α — степень простого числа, имеет а + 1 делитель.
2. τ(60) = 12, τ(366) = 8, τ(1970) = 8.
3. Наибольшим количеством делителей у числа, не превосходящего 100, является 12. Такое количество делителей имеют числа 72, 84, 90, 96.
Система задач 3 3.
1. 24; 48; 60; 10080.
2. 192; 180; 45360.
3. 24 и 36.
4. Пусть число делителей равно rs, где r и s — простые числа. Тогда
n = p>rs>-1 или n = p>r>-1q>s>-1,
где р и q — простые числа.
Система задач 3.4.
1. 8 128 и 33550 336.
Система задач 4.1.
1. а) D(360, 1970) = 10; б) D(30, 365) = 5.
2. Предположим, что √2 — рациональное число, т. е. √2 = a/
