Объем математических исследований, проведенных в школе Платона математиками — последователями философии Платона, был велик. Поразительно разнообразна деятельность Архита. С помощью остроумнейшего построения Архит решил так называемую делийскую задачу об удвоении куба. В связи со своей музыкальной теорией он доказал несколько теорем, относящихся к пропорциональности чисел. В сущности вся VIII книга «Начал» Евклида, излагающая арифметическую теорию непрерывных пропорций и теорию подобных чисел, — произведение Архита. Птоломей считает Архита самым крупным пифагорейским теоретиком музыки. Архит дал теоретическое обоснование той музыкальной теории, которая излагается в труде Евклида «Canonis». Велики его заслуги также в разработке механики. Диоген Лаэрций сообщает, что Архит первый разработал систематически механику на основе математики. Он не только писал о машинах, но был также конструктором машин. В частности, ему приписывают изобретение летающего деревянного голубя.
К «веку Платона» относится также деятельность Теэтета и Евдокса. Блестяще одаренный творческий математический ум, безупречный логик в разработке математических проблем, Теэтет был выведен Платоном в одноименном диалоге. В нем формулируется результат, который подробнее был развит в Х книге «Начал» Евклида и который дал возможность представить геометрическое понятие о соизмеримости сторон как арифметическое свойство чисел, измеряющих площади квадратов. Ван дер Варден убедительно обосновал предположение, что в основе Х и XIII книг Евклида лежит труд Теэтета.
Еще более крупным деятелем науки был Евдокс из Книда. Это был разносторонний ученый: математик, астроном, медик, философ, географ. В астрономии он прославился, предложив математическое решение задачи, поставленной Платоном: при помощи каких равномерных круговых движений можно объяснить видимые движения планет относительно неподвижных звезд на небесном своде? Евдокс придумал замечательную по остроумию и изобретательности модель солнечной системы, исходя в качестве основного допущения из гипотезы о шаровидной Земле как о неподвижном центре, вокруг которого движутся 27 концентрических сфер. Из них внешняя — сфера неподвижных звезд, а остальные вводятся для объяснения движения Солнца, Луны и пяти известных в то время планет.
В своих математических исследованиях Евдокс применял метод, который впоследствии получил не совсем точное название «метода исчерпывания». Это метод доказательства, в котором рассматривается круг, заключенный между вписанным и описанным многоугольниками, площади которых отличаются друг от друга менее чем на любую заданную величину. В доказательствах Евдокса, как показал Ван дер Варден, «вполне отчетливо содержится современное понятие о пределе: вписанные многоугольники приближаются к кругу в самом строгом смысле, так что разность между ними может быть сделана меньше произвольно заданной площади» (10, стр. 256). Евдоксу принадлежит также разработка теории пропорциональности.
Менее значительными учеными, чем Теэтет и Евдокс, были называемые в «Каталоге» Прокла Амикл, Менехм и брат Менехма Динострат. О деятельности Амикла, кроме его дружбы с Платоном, ничего не известно. Менехм и Динострат относятся уже к послеплатоновскому периоду развития школы.
В умственной атмосфере Академии вырос и созрел гений величайшего из учеников Платона Аристотеля, который пробыл в Академии целых двадцать лет.
После основания Академии Платон совершил еще две поездки в Сицилию при преемнике Дионисия I Дионисии II, получившем власть в 367 г. до н. э. Инициатором приглашения был тот самый Дион, с которым Платон подружился во время своего первого пребывания в Сицилии. Платон принял приглашение, надеясь осуществить через посредство Дионисия свой проект идеального государственного строя. Он потребовал, чтобы его державный воспитанник прошел курс обучения, начинавшийся с изучения математики. Но вскоре враждебные Платону придворные Дионисия внушили ему мысль, будто целью Платона было отдаление Дионисия от государственных дел и способствование возвышению Диона. Поводом для обвинения Диона послужили перехваченные его письма к карфагенским полководцам. Отправленный в ссылку Дион, впрочем, хотел примирения с тираном. При содействии правившего в Таренте Архита он склонил Платона к тому, чтобы подготовить в Сиракузах почву для такого примирения. Но план этот не имел успеха, и Платон решил вернуться в Афины. При отъезде он был задержан. Только в результате настояний Архита ему удалось покинуть Сиракузы и уехать в Спарту, где он встретился (в 360 г. до н. э.) с Дионом.
