Эти примеры, к которым можно добавить не один десяток других, показывают, что на протяжении всей нашей интеллектуальной истории математика никогда не была изолирована от других сфер человеческого знания и деятельности. В XX веке, однако, прогрессирующий редукционизм, фрагментация и специализация привели к крайней степени изоляции математики даже внутри научного сообщества. Так, теоретик хаоса Ральф Эбрем вспоминает:
Когда я начал свою профессиональную деятельность в математике в 1960 году, то есть не так уж давно, математика во всей ее полноте отвергалась физиками, включая и самых авангардных математических физиков… Было отвергнуто все, что еще год или два назад использовал Эйнштейн… Физики отказывали старшекурсникам в разрешении на посещение математических курсов, проводимых математиками: «Учитесь математике у нас. Мы научим вас тому, что вам следует знать»… Это было в 1960 году. К 1968 году ситуация изменилась полностью40.
Великое очарование теорией хаоса и фрактальной геометрией, распространившееся среди людей, которые работают в разных областях — от ученых до менеджеров и художников, — возможно, и в самом деле свидетельствует, что изоляции математики приходит конец. В наше время новая математика сложных систем все чаще побуждает людей к осознанию того, что математика вообще — это нечто намного большее, чем сухие формулы; что понимание паттерна — необходимый путь к пониманию окружающего нас живого мира; и что все проблемы паттерна, порядка и сложности — это проблемы существенно математического характера.
Цитируется по Сарга (1982), р. 55.
Цитируется по Сарга (1982), р. 63.
Stewart (1989), р. 38.
Цитируется там же, р. 51.
Точнее, давление — это сила, поделенная на площадь, на которую давит газ.
Здесь, очевидно, следует сделать техническое замечание. Математики различают зависимые и независимые переменные. В функции у = f (х), у — зависимаяпеременная, ах — независимая. Дифференциальные уравнения называютсялинейными-, если все зависимые переменные присутствуют в них в первой степени, а независимые переменные могут появляться и в более высоких степенях. В нелинейных же уравнениях зависимые переменные присутствуют в степенях выше первой. См. также выше, с. 133–136.
См. Stewart (1989), р. 83.
См. Briggs and Peat (1989), p. 52ff.
См. Stewart (1989), p. 155ff.
Cm. Stewart (1989), pp. 95–96.
См. выше, с 139–140.
Цитируется по Stuart (1989), p. 71.
Там же, р. 72; подробнее о странных аттракторах см. выше, с. 150 и далее.
См. Сарга (1982), p. 75ff.
См. Prigogine and Stengers (1984), p. 247.
См. Mosekilde et al. (1988).
CM.Gleick(1987),p. llff.
Цитируется по Gleick (1987), p. 18.
Cm. Stewart (1989), p. 106ff.
См. выше, с. 103 и далее.
См. Briggs and Peat (1989), p. 84.
Abraham and Shaw (1982-88).
Mandelbrot (1983).
Cm. Peitgenetal. (1990). Эта видеокассета, содержащая великолепную компьютерную анимацию и увлекательное интервью с Бенуа Мандельбро и Эдвардом Лоренцем, может служить одним из лучших введений в фрактальную геометрию.
См. там же.
См. Peitgen etal. (1990).
См. Mandelbrot (1983), p. 34ff.
См. Dantzig (1954),p. 181 ff.
Цитируется по Dantzig (1954), р. 204.
Цитируется там же, р. 189.
Цитируется там же, р. 190.
CM.Gleick(1987),p.221ff.
Легко понять, что любое число больше 1 увеличивается при каждом очередном возведении в квадрат, тогда как число меньше 1 уменьшается. Добавление константы перед возведением в квадрат на каждой ступени итерации добавляет разнообразие; для комплексных чисел вся ситуация еще более усложняется.
Цитируется по Gleick (1987), pp. 221–222.
См. Peitgen et al. (1990).
См. Peitgen et al. (1990).
37. Cm. Peitgen and Richter (1986).
38. CM.Grof(1976).
Цитируется по Peitgenetal. (1990).
Цитируется по Gleick (1987), p. 52.
