Ребенок обладает всеми интуитивными знаниями, необходимыми для подготовки к абстрактным идеям счета. Понятие количества было присуще всем нашим материалам, предназначенным для воспитания чувств: например, они могли быть длиннее и короче, темнее и светлее. Понятия сходства и различия были частью техники воспитания чувств, которая началась с распознавания одинаковых предметов и продолжилась ступенчатой расстановкой похожих предметов. Приведу для примера первое упражнение с цилиндрами, которое может делать ребенок даже двух с половиной лет. Когда он делает ошибку, вставляя цилиндр в слишком большое углубление и таким образом оставляя один цилиндр без места, он интуитивно понимает, что один предмет выбивается из общей серии.
Ум ребенка нельзя подготовить к идее числа с помощью каких-то «вводных понятий», которые поспешно объясняются учителем. Это возможно только с помощью процесса формирования, медленного самовыстраивания логической цепочки.
Чтобы перейти непосредственно к обучению арифметике, мы возвращаемся к тому же дидактическому материалу, который использовали для развития сенсорики.
Давайте взглянем на три набора предметов, которые были представлены после упражнений с геометрическими фигурами-вставками, то есть материал для обучения понятию размера (розовые кубы), толщины (коричневые призмы) и длины (зеленые планки). В материале, обучающем понятию длины, самый короткий предмет является единицей измерения для всех остальных. Второй предмет вдвое больше первого, третий в три раза больше первого и т. д. Таким образом, длина увеличивается от предмета к предмету каждый раз на 10 см, остальные параметры остаются постоянными (например, всех планки имеют одинаковые сечения).
Поэтому предметы находятся в той же зависимости друг от друга, как и простой натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Во втором наборе, то есть в том, который демонстрирует толщину, длина остается постоянной, а площадь основания призмы – разная. В результате сторона основания изменяется в соответствии с рядом натуральных чисел, например, у первой призмы основание имеет стороны по 1 см, во втором – 2 см, в третьем – 3 см и т. д. вплоть до десятой призмы, у которой сторона основания – 10 см. Таким образом, призмы относятся друг к другу как ряд квадратов натуральных чисел (1, 4, 9, 16 и т. д.), так как надо взять четыре призмы первого размера, чтобы получить вторую, девять, чтобы получить третью, и т. д. Поэтому предметы, входящие в набор, обучающий понятию толщины, находятся в следующем соотношении: 1: 4: 9: 16: 25: 36: 49: 64: 81: 100.
В случае с розовыми кубиками их грани увеличиваются в соответствии с натуральным рядом чисел. То есть первый кубик имеет грань размером 1 см, второй – 2 см, третий – 3 см и так далее до десятого куба, грань которого равна 10 см. Поэтому соотношение их объемов такое же, как и ряд величин третьей степени чисел от 1 до 10, то есть 1: 8: 27: 64: 125: 216: 343: 512: 729: 1000. Ведь чтобы получить объем второго розового куба, понадобится восемь маленьких первых кубов. А чтобы получить третий куб, понадобится двадцать семь вторых и т. д.
Дети обладают интуитивным пониманием этой разницы, так как они знают, что упражнение с розовыми кубиками – самое легкое из этих трех, а с планками – самое сложное. Чтобы приступить к непосредственному изучению чисел, нам понадобятся длинные планки, но теперь мы видоизменяем их, разделяя на десять равных частей: каждая имеет по 10 см в длину и выкрашена полосами в красный и синий цвет. Например, сразу будет видно, что планка, которая в четыре раза больше первой, поделена на четыре равные части, красные и синие, и точно так же будут выглядеть все остальные.
Разложив планки по степени возрастания их длины, мы показываем детям числа: 1, 2, 3 и т. д., дотрагиваясь до планок по порядку, от первой до десятой. Затем, чтобы помочь ребенку получить ясное представление о числе, мы продолжаем учиться различать отдельные планки с помощью обычных трех этапов.
