Точно не ясно, когда Максвелл начал работать над задачей, выдвинутой на премию Адамса. В июле 1856 года, когда ученый оставил Кембридж, чтобы занять место преподавателя натуральной философии в Маришал колледже в Абердине, он уже был полностью поглощен проблемой. Джеймс рассказал своему другу Р. Б. Личфилду, что «посвящает значительную часть времени кольцам Сатурна, проблеме чрезвычайно сложной, но любопытной, особенно в случае с движущимся текучим кольцом». В следующем письме в октябре он поведал о результатах, касающихся условий стабильности колец. Окончательный вариант статьи Максвелл написал и послал в жюри 16 декабря. Она оказалась единственной работой, представленной на конкурс.
«О СТАБИЛЬНОСТИ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕЦ САТУРНА»
Статья была разделена на две части, как того требовали условия конкурса. В первой изучалось движение твердого кольца, а во второй — движение жидкого, образованного несвязанными частицами. В своей математической работе Максвелл использовал хорошо известные методы, такие как теорема Тейлора, анализ Фурье и теория потенциала, но примененные не очень обычным способом.
Максвелл исходил из классической работы Лапласа и искал способ определения условий, в которых жесткое вращающееся кольцо было бы стабильным на основе уравнений теории потенциала, развитых самим Лапласом в его «Небесной механике*: «Мы должны определить силы, действующие между кольцом и сферой, и мы это сделаем с помощью потенциала, V, относительно кольца». Получив уравнения движения для вращения кольца вокруг центра тяжести, он вывел условия, при которых возможно его однородное вращение. К своему удивлению, Максвелл открыл, что твердое однородное кольцо может быть стабильным, в противоположность доказанному Лапласом. Должно быть, что-то было не так, и именно Чэллис отыскал ошибку, указав на уравнения гравитационного потенциала кольца. Он попытался снова решить задачу, но не смог. Когда в августе Максвелл переделал свою работу, он сумел исправить ошибку и доказать, что твердое однородное кольцо полностью нестабильно. Он выяснил, что твердое кольцо может быть стабильным в крайне странном положении, когда 4/5 части массы кольца находятся в одной точке окружности, а оставшаяся часть распределена неравномерно. Очевидно, что такая структура не была свойственна кольцам Сатурна.
Вторая часть его работы была посвящена текучему кольцу.
В данном случае «каждая частица кольца должна считаться спутником Сатурна». Таким образом, он предположил, что различные части кольца способны двигаться независимо; следовательно, «мы должны учитывать в каждой зоне кольца действующее притяжение, вызванное нерегулярностью в других зонах». В этом случае Максвелл доказал, что текучее кольцо в итоге разобьется на ряд отдельных капель. Итак, методом исключения получалось, что кольца должны состоять из огромного числа мелких тел, каждое из которых независимо вращается вокруг планеты и подвержено взаимодействиям и столкновениям друг с другом. Однако регламент премии требовал математического исследования условий стабильности кольца. Очевидно, что способ рассмотрения уравнений движения каждого из тел, составляющего кольцо, непригоден.
Но чтобы показать то, что может происходить, Максвелл исследовал отдельный случай: единое кольцо, в котором каждый кусок равномерно расположен в пространстве. В такой ситуации он доказал, что подобное кольцо было бы стабильным.
Если бы существовали два кольца — внутреннее и внешнее, — нестабильность системы можно было бы предсказать в зависимости от отношения между двумя соответствующими радиусами, поскольку было бы несколько значений, при которых система разрушилась бы, однако имелись бы и другие значения, при которых этого не произошло бы.
[...] интересный пример красивого метода, умело примененного к решению очень сложной проблемы.
Похвала королевского астронома Джорджа Бидделя Эйри доказательствам, использованным Максвеллом в его работе «О стабильности...»
Это был предел того, куда Максвелл смог зайти. В статье он признал: если учесть возможность взаимодействия между собой различных тел, образующих кольца (по сути, это присутствовало в уравнениях в виде трения), то можно ожидать, что внутреннее кольцо будет приближаться к планете, а внешнее — удаляться. Из этого следует, что вывод Струве об изменении системы колец со временем верен: «Это единственный наш наблюдаемый результат или который, как считается, был наблюдаем», — написал Максвелл. Кольца Сатурна оказались «облаком метеоритов», вращающихся вокруг газового гиганта. Когда зонды Вояджер сфотографировали Сатурн и его кольца в 1980-х годах, мы получили прямое доказательство того, что ученый был прав.
