Лекции по физике 9 - страница 5

k=7p//4b), то вещественная часть а (х_>n) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама коси­нусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках х_>n.

Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения kво всех х_>nдают одинаковые амплитуды.

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные реше­ния нашей задачи получатся, если взять kтолько из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/bдо +p/b(она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационар­ных состояний с ростом абсолютной величины kвозрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только пере­прыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме а_>п=e^>ikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом kимеют энер­гию E_>0-2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции kне универсальна, а зависит от тех частных до­пущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относи­тельно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях kне нужно.

Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним х_>nи соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е_>0=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать

и энергия (11.13) превратится в

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации

амплитуд С_>n.

§ 3. Состояния, зависящие от времени

В этом параграфе мы хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для электрона амплитуда того, что он окажется в х_>n, равна С_>n, то вероятность найти его там будет |С_>n|^>2. Для стационарных состояний, описанных уравнением (11.12), эта вероятность при всех х_>nодна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, кото­рое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон определенной энергии сосредоточен в определенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпозицией нескольких решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значениями kи, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при t=0, амплитуда С_>nвследствие интерференции раз­личных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн раз­ной длины [см. гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преобладать волновое число k_>0, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкие к k_>0.

В нашей суперпозиции стационарных состояний амплитуды с разными kбудут представлять состояния со слегка различ­ными энергиями и, стало быть, со слегка различными частотами; интерференционная картина суммарного С_>nпоэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений». Как мы ви­дели в гл. 48 (вып. 4), пики биений [места, где |С(x_>n)|^>2наи­большие] с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что эта груп­повая скорость связана с зависимостью kот частоты формулой

все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для кото­рого С_>nменяется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного «кристалла» с быстротой v, рапной dw/dk, где w=E/h.

Фиг. 11.5. Вещественная часть С(х_>n) как функция х для суперпозиции нескольких состояний с близкими энергиями.

Подстав­ляя (11.16) вместо Е, получаем

Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному