Лекции по физике 6a - страница 40
В предыдущей главе мы видели, что потенциал A>m =(j, А) является четырехвектором. Его временной компонентой служит скалярный потенциал j, а тремя пространственными компонентами— векторный потенциал А. Используя преобразования Лоренца, мы нашли также потенциал частицы, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. (В гл. 21 то же самое было сделано несколько иным методом.) Для точечного заряда, координаты которого в момент tравны (vt, 0, 0), потенциалы в точке (х, у, z) имеют вид
(26.1)
Уравнения (26.1) дают потенциалы в точке х, у, zв момент t, возникающие от движущегося заряда, «истинное» положение которого (имеется в виду положение в момент времени t) x=vt. Заметьте, что в уравнение входят координаты (x-vt), у и z, которые являются координатами относительно переменного положения Р движущегося заряда (фиг. 26.1). Но, как вы знаете, истинное влияние распространяется на самом деле со скоростью с, так что поле в точке определяется на самом деле запаздывающим положением заряда Р', координата х которого равна vt' (где t'=t-r'/с — «запаздывающее» время».)
Фиг. 26.1. Определение полей в точке P от заряда q, движущегося вдоль оси xс постоянной скоростью v. (Поле в точке (x, y, z) в «настоящий момент» можно выразитькак через «истинное» положениеPтак и через «запаздывающее» положение P’ (т. е. положение в момент t’=t-r’/c).
Нам, однако, известно, что заряд двигался с постоянной скоростью по прямой линии, поэтому естественно, что поведение в точке Р' непосредственно связано с переменным положением заряда. Фактически, если мы добавим предположение, что потенциалы зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент, тогда уравнение (26.1) будет представлять собой полную формулу для потенциалов заряда, движущегося любым образом. Вот как все это работает. Пусть у вас имеется заряд, движущийся каким-то произвольным образом, скажем, по траектории, изображенной на фиг. 26.2, и вы пытаетесь найти потенциал в точке (х, у, z). Прежде всего вы находите запаздывающее положение Р' и скорость v' в этой точке. Вообразите затем, что заряд сохраняет свое движение с этой скоростью на весь период запаздывания (t'-t), так что он появился бы затем в воображаемом положении Р>пр, которое мы будем называть «проекционным», причем двигаясь с той же скоростью v'. (На самом деле он, конечно, не делает этого; в момент tон находится в точке Р.) Тогда потенциалы в точке (х, у, z) будут как раз такими, которые дали бы уравнения (26.1) для воображаемого заряда в проекционном положении Р>пр. Мы хотим здесь сказать, что, поскольку потенциалы зависят только от того, что делает заряд в запаздывающий момент, они будут одинаковы, независимо от того, продолжает ли заряд свое движение с постоянной скоростью или изменяет его после момента t', т. е. после того, как потенциалы, которые возникнут в момент tв точке (х, у, z), уже определены.
Вы понимаете, конечно, что в тот момент, когда получены формулы для потенциалов произвольно движущегося заряда, мы имеем полную электродинамику; из принципа суперпозиции мы можем получить потенциалы для любого распределения зарядов.
Фиг. 26.2. Движение заряда по произвольной траектории.
Потенциалы в точке (х, у, z) в момент tопределяютсяположением Р' и скоростью v' в запаздывающий момент t'— t-r' /с. Их удобно выражать через координаты относительно «проекционного» положения P>пр(истинным положением в момент tявляется точка Р).
Следовательно, все явления электродинамики можно вывести либо из уравнений Максвелла, либо из следующего ряда замечаний. (Запомните их на случай, если вы вдруг очутитесь на необитаемом острове. Исходя из них, можно восстановить все. Преобразования Лоренца вы, конечно, помните. Не забывайте их ни на необитаемом острове, ни в каком-либо другом месте.)
Во-первых, А>m — четырехвектор. Во-вторых, кулонов потенциал любого покоящегося заряда равен q/4pe>0r. В-третьих, потенциал, созданный зарядом, движущимся произвольным образом, зависит только от положения в запаздывающий момент времени. Из этих трех фактов вы можете получить все. Из того, что
