Лекции по физике 6a - страница 27
(24.19)
Фиг. 24.6. Магнитное поле в волноводе.
Кроме электрических полей, существуют и магнитные поля, которые тоже движутся волнообразно. Мы не будем сейчас заниматься выводом выражений для них. Ведь c>2СXВ = dE/dt, и линии В циркулируют вокруг областей, где dE/dt— наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и минимумом Е. Петли В лежат параллельно плоскости xzи между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).
§ 3. Граничная частота
Уравнение (24.16) для k>z на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:
(24.20)
Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.
Наше уравнение для k>zсообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям k>g, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших w величина kне станет равной w/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота w станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда w перевалит через pс/а или когда l>0 станет больше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты w>c=pс/а, волновое число k>z(а также l>g) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что k>zдолжно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые k>zтоже представляют какую-то волну?
Предположим, что w действительно меньше w>c; тогда можно написать
(24.21)
где k' — действительное положительное число
(24.22)
Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Е>y, то надо будет написать
(24.23)
что можно также представить в виде
(24.24)
Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеблется как e>i>w>t, a no zменяется как e>±>k>'>z. Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.
Итак, при частотах ниже w>с—pс/а волны вдоль трубы не распространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка i/k'. По этой причине частоту w>сназывают «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже w>c число k' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше w>с, коэффициент k' в экспоненте равняется p/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоянии а/p, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.
Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа k>z. Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн
Фиг. 24.7. Изменение Е>y с ростом zпри w<
Итак, если в любой задаче на волны kпри какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется — синусоида переходит в экспоненту.
§ 4. Скорость волн в волноводе
Та скорость волн, о которой мы пока говорили,— это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать
