Лекции по физике 6 - страница 26
На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э.д.с. Эту индуцированную э.д.с. мы сейчас и вычислим.
В гл. 13, § 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно
(17.23)
где N>1 — число витков в катушке 1, I>1 — ток в ней, а l — её длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно S, тогда поток поля В равен его величине, умноженной на S. Если в катушке 2 имеется N>2 витков, то поток проходит по катушке N>2 раз. Поэтому э. д. с. в катушке 2 дается выражением
.(17.24)
Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть I>1. Поэтому э. д. с. дается выражением
(17.25)
Мы видим, что э. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности — по существу геометрический фактор двух катушек, называется коэффициентом взаимной индукции и обозначается обычно m>21. Тогда (17.25) записывается уже в виде
(17.26)
Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току I>2. Поток сквозь катушку Iзависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току I>2. Поэтому
Фиг. 17.8. Ток в катушке 1 создает магнитное поле, проходящее через катушку 2.
Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией m, пропорциональной интегралу от ds>1·ds>2· (1/r>12).
э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dI>2/dt. Мы можем записать
(17.27)
Вычисление m> 12 было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для m> 21. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что m> 12 обязательно равно m> 21.
Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные m> 12 и m> 21 были бы другие. Их значения будут зависеть от формы катушек и их относительного положения.
Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:
где В — магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае
как контурный интеграл по контуру цепи 2:
(17.29)
где I>2 — ток в цепи 2, а r>12 — расстояние от элемента цепи ds>2к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:
В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток I>2, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как
где коэффициент m> 12 равен
(17.30)
Из этого интеграла очевидно, что m> 12 зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для m> 12 тождествен с интегралом для m> 21. Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты m
