Для поиска ответа была построена ставшая знаменитой математическая модель. Вот ее краткое описание. Представим, что по трубе, длина и диаметр которой соответствуют таковым у мочеиспускательного канала животного, течет поток жидкости. Его движению способствуют две силы: давление мочевого пузыря и сила тяжести, а замедляют его вязкость, сила инерции и капиллярная сила. Давление пузыря удивительным образом представляет собой фундаментальную физиологическую константу: как показали измерения, проведенные зоологами, у млекопитающих оно составляет примерно 5,2 кПа независимо от размеров животного. Гравитационная сила, она же гидростатическое давление, пропорциональна высоте трубы. Сила инерции, или динамическое давление, – квадрату скорости потока. Сила вязкого давления – квадрату скорости потока и отношению длины трубы к ее диаметру. А капиллярная сила, стремящаяся свернуть струю в капли, обратно пропорциональна диаметру трубы.
Для больших животных остается первые три силы, а вязкостью и капиллярной силой можно пренебречь. Тогда получится уравнение, в котором скорость потока выражена через параметры трубы и давление пузыря. Подставив этот результат в формулу для вычисления времени опорожнения мочевого пузыря, которое равно отношению его объема к скорости движения потока и площади поперечного сечения, получаем зависимость от объема пузыря и опять же параметров трубы. А они, как выяснили исследователи из группы Ху, закономерным образом зависят от веса тела: объем пропорционален весу в первой степени, а длина и диаметр мочеиспускательного канала – кубическому корню из веса. Подстановка этих зависимостей в формулу для времени показывает, что оно пропорционально весу в степени 1/6, или примерно 0,16, то есть зависимость от веса все-таки есть, но очень слабая. В общем-то точный расчет времени по экспериментальным данным дает не совсем константу, а именно слабую зависимость – с показателем 0,13. Такое совпадение свидетельствует: модель очень хороша. Из нее становится ясно, почему кот и слон освобождаются от жидкости за одно время: у слона всё больше – и пузырь, и длина канала, и его диаметр. В результате выше вклад силы тяжести, которая увеличивает скорость истечения потока, это и позволяет слону догнать кота в заочном соревновании.
А вот с мышами и крысами все сложнее. У них вклад капиллярных сил очень велик, ведь диаметр канала маленький. Эти силы так запутывают дело, что простую формулу вывести не получается, никаких инвариантов выявить не удается. Это соответствует эксперименту: время мочеиспускания у мелких животных различается двадцатикратно – от 0,1 до 2 секунд! Модель позволила рассчитать и параметры самого маленького животного, способного самостоятельно избавляться от мочи: у него диаметр канала равен 100 мкм. Это соответствует длине канала в 1,7 мм и весу в 0,8 г. Таковы параметры новорожденных мышат – их вес 0,5–3 г. И действительно, мать слизывает у них капельки мочи, которые в соответствии с игнобелевской моделью и не должны сами отделяться от канала. А вот насекомые в принципе не писают: у них продукты азотистого обмена выходят в сухом виде вместе с калом; аналоги почек у насекомых – мальпигиевы трубочки – открываются в кишку, а не во внешнюю среду.
По мнению авторов работы, их исследование – не просто удовлетворение любопытства, оно имеет практическую значимость. Во-первых, многие нарушения мочеиспускания изучают на животных, и теперь в руках медиков есть надежный инструмент для масштабирования полученных данных, чтобы их можно было применять к человеку. А во-вторых, бионический принцип позволит инженерам лучше проектировать масштабируемые гидродинамические системы, ведь мочевой пузырь и связанный с ним канал ничем не отличаются от какого-нибудь нефтехранилища, привязанного к нефтепроводу.
Аналогичную модель удалось создать для объяснения феномена дефекации. Действуя по схожей методике, исследователи из лаборатории доцента Ху определили: у подавляющего большинства млекопитающих, у которых твердые отходы жизнедеятельности выходят единым куском, а не орешками, как у коз или зайцев, имеется свой инвариант: этот процесс в норме (то есть без расстройства кишечника) занимает 12 секунд вне зависимости от веса животного. При этом скорость дефекации пропорциональна кубическому корню из веса, то есть длине животного, поскольку последняя также пропорциональна этому корню. Статистическая обработка данных измерения показывает соответственно, что время дефекации очень слабо зависит от веса – в степени −0,09, то есть чем больше вес, тем меньше время опорожнения, хотя 40-сантиметровая прямая кишка слона в десять раз длиннее, чем у кота.
