Квантовая вселенная. Как устроено то, что мы не можем увидеть - страница 45

Таким образом, для нашего прямоугольного ящика электронные волны будут иметь точно такую же форму, что и волны на гитарной струне: это будут волны-синусоиды с четко определенным набором разрешенных длин. Теперь можно двинуться вперед, призвав на помощь уравнение де Бройля из предыдущей главы и связав длину этих волн-синусоид с импульсом электрона: p = h / λ. В этом случае стоячие волны описывают электрон, которому разрешено иметь лишь определенные импульсы, заданные формулой p = nh / (2L), где все, что нам остается, – подставить разрешенные длины волны в уравнение де Бройля.

Получается, что импульс нашего электрона в прямоугольной яме квантуется. Это уже большое достижение. Однако надо быть осторожными: потенциал на рис. 6.3 – специфический случай, для других потенциалов стоячие волны обычно не синусоидальные. На рис. 6.5 показана фотография стоячих волн, созданных барабаном. Кожа барабана усыпана песком, который собирается в узлах стоячей волны. Так как кайма вибрирующего барабана круглая, а не прямоугольная, стоячие волны уже не будут синусоидами[24]. Это значит, что в более реалистичной ситуации, когда электрон пойман протоном, стоячие волны тоже не будут синусоидами. В свою очередь, это подразумевает, что связь между длиной волны и импульсом утеряна. И как в этом случае интерпретировать стоячие волны? Что если у пойманных частиц квантуется не импульс?

Рис. 6.5. Вибрирующий барабан покрыт песком. Песок собирается в узлах стоячих волн

Мы можем найти ответ, если заметим, что в прямоугольной потенциальной яме квантуется не только импульс электрона, но и его энергия. Это простое наблюдение, кажется, не содержит никакой новой важной информации, поскольку энергия и импульс прямо связаны друг с другом, а именно энергия E = p² / 2m, где p – импульс удерживаемого электрона, а m – его масса[25]. Но это наблюдение не такое уж бесполезное, как можно подумать, потому что для потенциалов не столь простых, как прямоугольная яма, каждая стоячая волна всегда соотносится с частицей определенной энергии.

Важное различие между энергией и импульсом появляется потому, что уравнение E = p² / 2m верно, только если потенциал одинаков по всей области вероятного пребывания частицы и позволяет ей двигаться свободно, как по мраморной столешнице или, что больше относится к делу, как электрону в прямоугольной яме. В общем случае энергия частицы не будет сводиться к E = p² / 2m; это будет сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. Так разрушается прямая связь между энергией частицы и ее импульсом.

Можно еще раз проиллюстрировать это положение с помощью мяча в долине с рис. 6.4. Начнем с мяча, который счастливо покоится на дне. С ним ничего не происходит[26]. Чтобы заставить мяч катиться вверх по склону, его нужно ударить, то есть добавить ему энергии. В мгновение, следующее за ударом, вся его энергия будет кинетической. По мере подъема мяча по склону он будет замедляться, пока на какой-то высоте не остановится, после чего будет снова падать. В момент остановки он не будет обладать кинетической энергией, но ведь энергия не исчезла по волшебству. На самом деле вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную, которая равняется mgh, где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, а h – высота мяча над земной поверхностью. Когда мяч начинает падать, эта накопленная потенциальная энергия при наборе скорости постепенно снова превращается в кинетическую. Итак, пока мяч перелетает с одного конца долины в другой, общая энергия остается постоянной, но периодически перетекает из кинетической в потенциальную. Разумеется, импульс мяча постоянно меняется, но суммарная энергия остается неизменной (предположим, что трения, замедляющего скорость мяча, не существует. Если бы мы включили его в нашу картину, общая энергия тоже осталась бы неизменной, но нужно было бы добавить в качестве ее составляющей энергию, идущую на трение).