Задачи на взвешивание – весьма распространённый вид математических задач.
В таких задачах требуется обнаружить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем сравнения между собой как отдельных предметов, так и целых групп.
Фальшивая монета
Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В нашем распоряжении лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.
Решение
Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся монеты и выявляем фальшивую (более легкую).
Если же одна группа из трех монет легче другой, значит именно в ней есть фальшивая монета. Из этой, более легкой группы кладем на весы две монеты и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшивая третья монета, а если нет, то та, которая легче.
Мешки с золотом
Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном – все фальшинвые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая – 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах.
Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты.
Мешки можно раскрывать и вытаскивать монеты
Решение
Пронумеруем мешки от 1 до 10. Вытащим из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее. Затем возьмем всю эту кучу монет и положим на весы. Если бы они все были настоящие, то общий вес составил бы 275 грамм (т. к. мы вытащили в общей сложности 55 монет).
Но в одном из мешков были фальшивые монеты. Если это был первый мешок, то вес будет на 1 грамм меньше (т. к. мы взяли оттуда 1 монету). Если фальшивые были во втором мешке, то на 2 грамма меньше. И так далее.
101 монета
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.
Решение
Взвешиваем 50 и 50 монет: возможны 2 варианта.
Вариант 1. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку, вместо одной из имеющихся там:
а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;
б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
Вариант 2. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:
а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;
б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
Задачи для тренировки
1. Буратино
У Буратино есть 27 золотых монет. Известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?
2. Ткань
Эта задача, хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как у других задач этого раздела. Как от куска ткани, площадью в >2/>3 кв. метра, отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?
3. Развесить чай
Как развесить 20 кг чая в 10 коробок по 2 кг в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 кг?
4. Спасение семейства
Король, его сын-принц и дочь-принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно.
Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение.
Естественно, как только одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Однако, если разница в весе превышала 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз.
