Качественные задачи по физике в средней школе и не только… - страница 18

. Но, как мы выяснили раньше, каждый кролик при этом продвигается к центру шестиугольника – а значит, шестиугольник кроликов сжимается в размерах. Получается, что через какое-то время все кролики соберутся в точке O (и, вероятно, подерутся).

Если вы хорошо знакомы с тригонометрией, то сможете даже подсчитать, через какое именно время это произойдет, если сторона шестиугольника равна L метров, а скорость каждого кролика v м/с. (Подсказка: изящнее всего эта задача решается, если перейти в систему отсчета, которая вращается вокруг точки O таким образом, чтобы одна ее ось всегда смотрела на выбранного вами кролика. Угловая скорость вращения этой системы отсчета будет непостоянной, и при решении задачи на расчет сил такая система создала бы много проблем, но эту кинематическую задачу она существенно упростит.)

13. Шустрая грязь

Если мы перейдем в систему отсчета, связанную с велосипедом, а более точно – с его задней осью, которая движется так же, как и весь велосипед в целом, то увидим, что крайняя левая и крайняя правая точки колеса движутся в этой системе отсчета строго вертикально, крайняя нижняя точка движется назад, а крайняя верхняя – вперед (рис. 34).

Рис. 34

Разумеется, это мгновенная картина – в следующий момент колесо уже немного повернется, эти точки займут другие положения, и их скорости изменятся.

Теперь вернемся в систему отсчета земли – для этого нам придется добавить ко всем векторам скоростей вектор скорости велосипеда. По величине он равен остальным векторам (точка касания колеса и земли покоится относительно земли, значит, земля движется относительно оси велосипеда с такой же скоростью, как нижняя точка колеса, а ось велосипеда движется относительно земли с такой же по величине скоростью, но противоположно направленной). Мы видим, что верхняя точка колеса движется относительно земли со скоростью, вдвое превышающей скорость велосипеда (рис. 35).

Рис. 35

Сделав более подробный чертеж (начертив векторы скоростей других точек колеса), вы обнаружите, что все точки верхней половины колеса «обгоняют» велосипед, а значит, и слетающая с них грязь догоняет велосипед и велосипедиста.

14. Сложное движение велосипеда

Для решения этой задачи мы можем применить тот метод, который использовали в задаче 13: начнем с системы отсчета, связанной с велосипедом. В этой системе отсчета педаль в верхнем положении движется вперед, педаль в нижнем положении – с такой же по величине скоростью назад.

Чтобы начертить скорости педалей в системе отсчета земли, нам потребуется добавить к этим скоростям вектор скорости велосипеда относительно земли. Педаль в верхней точке относительно земли в любом случае будет двигаться вперед, причем ее скорость относительно земли будет заметно больше, чем скорость относительно велосипеда. А вот с педалью в нижней точке не все так очевидно. Как правило, ведущая звездочка больше ведомой, поэтому на один оборот педалей приходится более одного оборота колеса, а это значит, что скорость велосипеда относительно земли по величине больше скорости педалей относительно велосипеда. В этом случае педаль в нижней точке будет относительно земли двигаться вперед (рис. 36).

Рис. 36

Чтобы понять, куда движутся педали относительно верхней точки колеса, нам нужно перейти в систему отсчета, связанную с этой точкой. Эта система отсчета движется вперед относительно земли вдвое быстрее, чем система отсчета велосипеда. Значит, велосипед относительно верхней точки колеса движется назад со скоростью, по величине равной скорости велосипеда относительно земли. Эту скорость и надо прибавить к скоростям педалей. Завершите этот графический анализ самостоятельно.

Напоследок – вопрос высокой сложности: каким должно быть соотношение ведущей и ведомой звездочек, чтобы педаль в нижней точке двигалась назад относительно земли? (Чтобы упростить рассуждения, считайте, что длина шатуна педали вдвое меньше радиуса колеса.)

15. Вперед или назад?

Прав, как это ни удивительно, Винкель. В задаче 13 мы увидели, что в каждый момент времени у движущегося велосипеда есть неподвижная относительно земли точка – точка контакта колеса с поверхностью земли. У железнодорожного вагона такой точкой на колесе будет точка контакта колеса и рельса. Однако у железнодорожных колес есть гребень (реборда), который опускается ниже поверхности рельса.