Истина и красота: Всемирная история симметрии - страница 15

Отношение греков к математике сильно отличалось от того, которое господствовало среди вавилонян и египтян. В тех культурах математика рассматривалась в первую очередь в практическом плане — хотя «практическое» могло означать такую ориентацию тоннеля в пирамиде, чтобы душе-ка умершего фараона легче было отправиться напрямую к Осирису. Для некоторых же из греческих математиков числа были не инструментами, время от времени привлекавшимися для подкрепления мистических верований, а самой сутью этих верований.

Аристотель и Платон сообщают о культе, центральной фигурой которого был Пифагор и который расцвел около 550 года до Р.Х. Согласно верованиям адептов этого культа, математика, в особенности числа, есть основа всего творения. Пифагорейцы развили мистические взгляды на гармонию вселенной, основанные отчасти на том открытии, что гармония нот на струнном инструменте связана с простыми математическими закономерностями. Если струна звучит на определенной ноте, то струна вполовину короче звучит на октаву выше, что дает наиболее гармоничный из всех интервалов. Они исследовали различные числовые закономерности, в частности «многоугольные» числа, возникающие, когда объекты выстраиваются так, чтобы образовать многоугольники. Например, «треугольные числа» 1, 3, 6 и 10 возникают из треугольников, а «квадратные числа» 1, 4, 9 и 16 — из квадратов.

Пифагореизм включал в себя не лишенную определенных странностей нумерологию — например, число 2 рассматривалось как мужское, а 3 как женское, — но тот взгляд, что глубинная структура природы имеет математический характер, и сегодня лежит в основе большей части теоретического знания. Хотя поздняя греческая геометрия была менее мистической, греки в целом воспринимали математику как самоцель — скорее как ветвь философии, нежели как инструмент.

Есть причины полагать, однако, что этим не все сказано. Твердо установлено, что Архимед, который мог бы быть учеником Эвклида, использовал свои математические способности для создания мощных машин и военных механизмов. Сохранилось очень немного замысловатых греческих устройств, изобретательный замысел и точность исполнения которых указывают на поддерживаемую в полной мере традицию высокого мастерства — античный вариант «прикладной математики». Самый, возможно, известный пример — это механизм, найденный на морском дне вблизи островка Антикитера: по-видимому, он представляет собой устройство для расчета движения небесных тел, выполненное в виде шестеренок, сложным образом сцепленных друг с другом.

Эвклидовы «Начала», без сомнения, укладываются в это утонченное представление о греческой математике — потому, возможно, что это представление в значительной мере и основано на «Началах». Основной акцент в книге делается на логику доказательства, при этом нет ни намека на возможность их практического применения. Но самое важное для нашего рассказа свойство «Начал» не в том, что там говорится, а в том, чего там нет.

Эвклид осуществил два великих нововведения. Первое — это концепция доказательства. Эвклид отказывается принимать какое бы то ни было математическое утверждение как истинное, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, которые позволяют вывести данное утверждение из того, что уже известно. Второе нововведение — это осознание того факта, что процесс доказательства должен иметь начало и что эти исходные утверждения доказать нельзя. Таким образом, Эвклид формулирует пять фундаментальных предположений, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и непосредственны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.

Но пятый постулат — совсем другого рода. Он длинный и сложный, а утверждаемое в нем вовсе не столь самоочевидно. Его основное следствие состоит в существовании параллельных прямых — таких, которые никогда не пересекаются, но продолжаются без ограничения в одном и том же направлении, при этом всегда находясь на одном и том же расстоянии друг от друга, как два тротуара по сторонам бесконечно длинной, идеально прямой дороги. В действительности Эвклид формулирует требование, чтобы при пересечении двух линий третьей первые две пересекались с той стороны, где два образованных угла дают в сумме величину, меньшую двух прямых углов. Оказывается, что это предположение логически эквивалентно существованию в точности одной линии, параллельной заданной линии и проходящей через заданную точку вне этой линии.