Первый шаг к обеспечению математической теории понятием формального доказательства состоит в формализации языка этой теории, в том смысле, который уже обсуждался в связи с дефиницией истины. В результате формализации получаются формальные синтаксические правила, позволяющие, в частности, просто по виду выражений отделить предложения от таких выражений, которые предложениями не являются. Следующий шаг ― формулирование немногих правил доказательства (или вывода). Число правил доказательства невелико, и их содержание несложно. Интуитивно все эти правила доказательства представляются непогрешимыми в том смысле, что предложение, которое непосредственным образом выводится из истинных предложений с помощью какого-либо из этих правил, должно быть истинным само по себе. В действительности же оказывается, что непогрешимость правил вывода может быть установлена на основе адекватной дефиниции истины. Наиболее известным и важным примером правил доказательства является правило отделения modus ponens. Согласно этому правилу (которое в некоторых теориях является единственным правилом доказательства), предложение q непосредственно выводимо из данных предложений, если одно из них есть условное предложение вида «если p, то q», тогда как другое есть р (здесь p и q являются, как обычно, сокращенными обозначениями любых предложений формализованного языка).
Теперь можно объяснить, в чём состоит формальное доказательство предложения. Сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают новые предложения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым предложениям (или совместно к новым предложениям и аксиомам) и получают новые предложения и т.д. Если после конечного числа шагов мы приходим к некоторому предложению, то говорим, что оно формально доказано. Данную процедуру более точно можно выразить следующим образом: формальное доказательство предложения Ѕ состоит в построении конечной последовательности предложений, такой, что (1) первое предложение есть какая-либо аксиома языка, (2) каждое из последующих предложений есть или некоторая аксиома, или непосредственно выводимо с помощью одного из правил вывода из каких-либо предложений, предшествующих ему в этой последовательности, и (3) последним предложением в этой последовательности является Ѕ.
Любая аксиоматическая теория, язык которой формализован и для которой имеет силу понятие формального доказательства, называется формализованной теорией. Мы оговариваем в качестве особого условия, что единственным доказательством, которым можно пользоваться в формализованной теории, является формальное доказательство. Ни одно предложение не может рассматриваться как теорема, если оно не появляется в списке аксиом или для него не может быть найдено формальное доказательство. Метод изложения формализованной теории на каждой стадии её развития является в принципе очень элементарным: мы сначала перечисляем аксиомы, а затем все известные теоремы в таком порядке, что каждое предложение из списка, не являющееся некоторой аксиомой, может быть непосредственно установлено как теорема просто путём сравнения его вида с видом предложений, которые предшествуют ему в списке, без привлечения для этого сложных видов рассуждения и убеждения. (Мы здесь не говорим о психологическом процессе, посредством которого теоремы открывались на самом деле). В результате обращение к интуитивной очевидности существенно ограничивается; сомнение относительно истинности теорем хотя целиком и не элиминируется, однако сводится к возможным сомнениям относительно истинности немногих предложений, перечисленных в качестве аксиом, и к сомнениям в непогрешимости немногих простых правил доказательства. Мы можем добавить, что процесс введения новых терминов в язык теории также может быть формализован с помощью специальных формальных правил образования дефиниции.
Известно, что все существующие математические дисциплины могут быть представлены как формализованные теории. Формальные доказательства в них могут быть приведены для самых глубоких и самых сложных математических теорем, которые первоначально были установлены с помощью интуитивных аргументов.
