Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит? - страница 24
Новая модель выглядела непротиворечивой, однако ученый все еще не был в ней уверен – в этой модели предполагалось, что существует некое странное свойство, связанное с произведениями двух величин, x(t) и y(t). Как представить таблицу для произведения чисел через таблицы чисел для каждого множителя? Гейзенберг сделал это так:
[x(t)y(t)]>mn =x>m1(t)y>1n(t) +x>m2(t)y>2n(t) +x>m3(t)y>3n(t) +…
Согласно его гипотезе, «в то время как в классической теории x(t)y(t) всегда равно y(t)x(t), это соотношение необязательно выполняется в квантовой теории». Несмотря на всю странность этого вывода, Гейзенберг решил изложить свои идеи, расчеты и результаты письменно. Он передал рукопись Борну и попросил опубликовать ее, если тот будет согласен с написанным. После этого молодой ученый сразу же отправился в далекий путь: его ждали конференции в Голландии и Англии, отпуск в Скандинавии в компании скаутов и продолжение работы в Копенгагене.
Странное правило умножения, описанное Гейзенбергом, сбило Борна с толку. Он обдумывал новую модель несколько дней и наконец понял, что уже видел это правило, когда изучал математику в университете: таблицы Гейзенберга соответствовали матрицам, произведение которых не обладает коммутативностью. После того как Борн убедился в правильности рассуждений Гейзенберга, он отправил рукопись в «Физический журнал», где она была опубликована в сентябре 1925 года.
Вместе с новым ассистентом Паскуалем Йорданом Борн изложил теорию Гейзенберга на языке матриц. В объемной статье исследователи объяснили матричные методы и адаптировали их к квантовой физике. Кроме того, они переопределили переменные и функции классической механики с помощью квантовых матриц и обнаружили матричные аналоги почти для всех уравнений механики. Взяв за основу абстрактные матричные выражения, Борн и Йордан получили формулы расчета энергии стационарных состояний. Все это позволило «ожидать, что на основе новой теории будут сформулированы четкие физические законы». Борн и Йордан обнаружили крайне любопытное соотношение между матрицами, обозначающими положение и импульс частицы. Напомним, что импульс равен произведению массы на скорость, и в классической механике высокого уровня использовать импульс удобнее, чем скорость. Как правило, положение частицы и ее импульс обозначаются буквами q (вместо х, которую мы использовали до этого) и р соответственно. Обозначив соответствующие матрицы заглавными буквами, Борн и Йордан записали найденное ими соотношение следующим образом:
Q•P-P•Q = ihI,
где i = sqrt(-1) – мнимая единица, h = h/2π – редуцированная постоянная Планка, I- единичная матрица. Элементы единичной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, все прочие – нулю. Это соотношение любопытно тем, что в нем присутствует число i. Оно было описано в XIX веке Коши и Гауссом и иногда используется в физике для упрощения некоторых формальных расчетов, однако в этой формуле мнимая единица появилась совершенно неожиданно, и в этом – еще одна особенность квантовой механики.
Матрица – это таблица с числами, которые обозначаются двумя индексами: первый указывает строку, в которой находится число, второй – столбец. К примеру, квадратная матрица из двух строк и двух столбцов выглядит так:
Сложение и вычитание матриц интуитивно понятны: для этого нужно почленно сложить или вычесть элементы исходных матриц. Произведение матриц рассчитывается по особому правилу:
При умножении матриц порядок множителей, в общем случае, влияет на конечный результат. К примеру, произведения матриц
равны
Эти матрицы различаются между собой. Разностью этих произведений будет матрица
В общем случае, в квантовой механике используются квадратные матрицы бесконечной размерности, то есть имеющие бесконечное число строк и столбцов.
В сентябре Борн и Йордан отправили копию своей работы Гейзенбергу, который к тому времени уже находился в Копенгагене. Молодой ученый показал работу Бору со словами: «Здесь полно матриц, и я не представляю, что они означают». В результате Гейзенбергу пришлось срочно изучить матричную алгебру. Стремясь сформулировать новую механику, он переписывался с Борном и Йорданом. Результатом совместной работы стала статья под названием «О квантовой механике, часть II», законченная в ноябре 1925 года и подписанная Борном, Гейзенбергом и Йорданом в алфавитном порядке. Это была знаменитая Dreimannerarbeit («работа трех») с изложением основ новой теории на языке математических выкладок. В статье были по-новому сформулированы начальные постулаты квантовой теории: в ней описывалось существование стационарных энергетических состояний атомов и квантовые скачки между состояниями, сопровождающиеся излучением или поглощением света. Авторы называли свою теорию «истинной теорией дискретного». Она позволяла провести все необходимые расчеты для любой системы с периодическим движением и описать свойства атомов с помощью новой матричной механики.
