Движение. Теплота - страница 16
Полезно составить формулу, которая показывала бы зависимость пройденного пути от ускорения. Подставляя v = v>0 + at в последнюю формулу, находим:
или, если движение происходит без начальной скорости,
Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4×5) м, за три секунды – (9×5) м и т.д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.
По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g, и формула приобретает такой вид:
если t подставить в секундах.
Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 секунд, то оно прошло бы с начала падения громадный путь – около 50 км. При этом за первые 10 секунд будет пройдено всего лишь (1/2) км – вот что значит ускоренное движение.
Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S = (1/2)(v>0 + v)t значение времени движения t = (v − v>0)/a, получим:
или, если начальная скорость равна нулю,
Десять метров – это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = sqrt(2·9,8·10) м/с = 14 м/с ≈ 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.
Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.
Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Луне.
В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с>2).
Написанные формулы позволяют быстро подсчитать лунные «чудеса».
Прыжок с высоты h длится время t = sqrt(2h/g). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в sqrt(6) ≈ 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка (v = sqrt(2gh))?
На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, cделанного с той же начальной скоростью (формула h = v>2/(2g)). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.
Путь пули
Задача бросить предмет как можно дальше решается человеком с незапамятных времен. Камень, брошенный рукой или выпущенный из рогатки, стрела, вылетевшая из лука, ружейная пуля, артиллерийский снаряд, баллистическая ракета – вот краткий перечень успехов в этой области.
Брошенный предмет движется по кривой линии, называемой параболой. Ее можно построить без труда, если движение брошенного тела рассматривать как сумму двух движений – по горизонтали и по вертикали, происходящих одновременно и независимо. Ускорение силы тяжести вертикально, поэтому летящая пуля движется по горизонтали по инерции с постоянной скоростью и одновременно по вертикали с постоянным ускорением падает на Землю. Как же сложить эти два движения?
Начнем с простого случая – начальная скорость горизонтальна (скажем, речь идет о выстреле из ружья, ствол которого горизонтален).
Возьмем лист миллиметровой бумаги и проведем вертикальную и горизонтальную линии (рис. 15). Так как оба движения происходят независимо, то через t секунд тело переместится на отрезок v>0t вправо и на отрезок gt>2/2 вниз. Отложим по горизонтали отрезок v>0t и из конца его – вертикальный отрезок gt>2/2. Конец вертикального отрезка укажет точку, в которой окажется тело через t секунд.
Это построение надо сделать для нескольких точек, т.е. для нескольких моментов времени. Через эти точки пройдет плавная кривая – парабола, изображающая траекторию тела. Чем чаще будут отложены точки, тем точнее будет построена траектория полета пули.
На рис. 16 построена траектория для случая, когда начальная скорость v>0 направлена под углом.
Вектор v>0 следует прежде всего разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие. На горизонтальной линии будем откладывать
