. Или кратко, sup и inf.
Для множества чисел 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 с отношением делить, возьмем подмножество чисел 3, 6, 9. Для него множество мажорант будет 12, 36. Множество минорант – 3, 1. супремум – 12, инфимум – 3.
РЕШЕТКОЙ называется ЧУМ, в котором для любого непустого подмножества существуют супремум и инфимум.
Решетки, которые получаются как множества подмножеств данного конечного множества, с отношением включения, относятся к БУЛЕВЫМ РЕШЕТКАМ. Для тех, кто знают про булеву алгебру, добавим, что традиционная булева алгебра есть решетка из двух элементов: «истина», «ложь», с отношением порядка «более истинный».
Определить решетку можно и «алгебраически». Если для элементов множества с отношением частичного порядка (частично-упорядоченным множеством) выполняются законы коммутативный, ассоциативный, поглощения и идемпотентности, то такое частично-упорядоченное множество называется решеткой.
Если, кроме того, выполняется дистрибутивный закон – то решетка называется дистрибутивной.
Тут уж поверьте на слово – с помощью решеток решен ряд важных проблем. В том числе и теоретического программирования.
Лекция 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (БЕССМЫСЛЕННАЯ ЛОГИКА)
Обычно, настоящие математики не приспособлены к жизни. Посмотрите на них, если имеете возможность. Они где-то витают… Казалось бы, следует сделать исключение для логиков. Хотя бы потому, что поступки логиков должны быть наиболее логичны. Как бы не так! Все как раз наоборот! На самом-то деле логика строго оговаривает свои «правила игры» и действует пунктуально до беспощадности, граничащей с идиотизмом, в рамках этих правил. При этом их логика с «логикой жизни» имеет не больше общего, чем вы найдете общего в шахматной и Бородинской битвах… Но все-таки есть что-то похожее… Когда страсти с обеих противоборствующих сторон накаляются и дело доходит до рукопашной!…
Кстати, основной клоунский прием: с фанатичным исступлением совершать некие формально логичные, но с точки зрения жизненной реальности абсурдные до идиотизма, действия. Всем, прежде всего детям, очевиден полный идиотизм происходящего, но клоун продолжает поступать ЛОГИЧНО! И ничто не в силах свернуть его с этого пути.
Вообще-то всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно – бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более, что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков… А от политики предпочтительно держаться подальше… Математическая логика понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?
Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что «логичность» рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией… Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, «Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня» и «Поспешишь людей насмешишь». Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).
Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна. Хотя, например, так называемые репертуарные решетки и говорят о некоторых успехах в этом направлении…
Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. (Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин «логическая наука» не возьмусь даже приблизительно).
