Таблица 2.2. Таблица деления/умножения, часть 2
Столбец деления
Столбец умножения
89
18
44
Деление на 2 продолжается, пока не будет получен результат 1. При этом каждый раз остаток отбрасывается, а результат записывается в следующую строку. Половина от 44 равна 22, половина от 22 равна 11, половина от 11 (с потерей остатка) равна 5, затем 2, затем 1. Записав эти числа в столбец деления, мы получаем табл. 2.3.
Таблица 2.3. Таблица деления/умножения, часть 3
Столбец деления
Столбец умножения
89
18
44
22
11
5
2
1
Столбец деления готов. Каждый элемент столбца умножения равен удвоенному предыдущему элементу. Так как 18 × 2 = 36, вторая строка столбца умножения содержит 36 (табл. 2.4).
Таблица 2.4. Таблица деления/умножения, часть 4
Столбец деления
Столбец умножения
89
18
44
36
22
11
5
2
1
Далее мы продолжаем добавлять элементы в столбец умножения по тому же правилу: предыдущее значение удваивается. Это продолжается до тех пор, пока столбец умножения не сравняется по количеству элементов со столбцом деления (табл. 2.5).
Таблица 2.5. Таблица деления/умножения, часть 5
Столбец деления
Столбец умножения
89
18
44
36
22
72
11
144
5
288
2
576
1
1152
На следующем шаге из таблицы удаляются все строки, у которых столбец деления содержит четное число. Результат показан в табл. 2.6.
Таблица 2.6. Таблица деления/умножения, часть 6
Столбец деления
Столбец умножения
89
18
11
144
5
288
1
1152
Остается сложить все оставшиеся числа в столбце умножения. Результат равен 18 + 144 + 288 + 1152 = 1602. Правильность ответа можно проверить на калькуляторе: 89 × 18 = 1602. Умножение было реализовано с помощью операций деления надвое, удвоения и сложения, и нам не пришлось запоминать большую часть скучной таблицы умножения, которую так не любят дети.
Чтобы понять, почему работает этот метод, попробуйте переписать столбец умножения в виде множителей 18 — умножаемого числа (табл. 2.7).
Таблица 2.7. Таблица деления/умножения, часть 7
Столбец деления
Столбец умножения
89
18 × 1
44
18 × 2
22
18 × 4
11
18 × 8
5
18 × 16
2
18 × 32
1
18 × 64
В столбце умножения следует серия множителей 1, 2, 4, 8 и т.д. до 64. Все эти числа являются степенями 2, и их также можно записать в виде 20, 21, 22 и т.д. Когда мы вычисляем итоговую сумму (складываем строки столбца умножения, у которых столбец деления содержит нечетное значение), в действительности вычисляется следующая сумма:
18 × 20 + 18 × 23 + 18 × 24 + 18 × 26 = 18 × (20 + 23 + 24 + 26) = 18 × 89.
Работа RPM зависит от следующего факта:
(20 + 23 + 24 + 26) = 89.
Внимательно присмотревшись к столбцу деления, можно понять, почему данное уравнение истинно. Этот столбец тоже можно записать в степенях 2 (табл. 2.8).
Таблица 2.8. Таблица деления/умножения, часть 8
Столбец деления
Столбец умножения
(25 + 23 + 22) × 21 + 20 = 26 + 24 + 23 + 20
18 × 20
(25 + 23 + 22) × 21 + 20 = 26 + 24 + 23 + 20
18 × 21
(23 + 21 + 20) × 21 = 24 + 22 + 21
18 × 22
(22 + 20) × 21 + 20 = 23 + 21 + 20
18 × 23
21× 21 + 20 = 22 + 20
18 × 24
20× 21 = 21
18 × 25
20
18 × 26
При этом проще начать с наименьшего числа и двигаться снизу вверх. Стоит напомнить, что 20 = 1, а 21 = 2. В каждой строке значение умножается на 21, а в строках, в которых делимое число нечетно, также добавляется 20. При продвижении по строкам выражение начинает все больше напоминать наше уравнение. К моменту достижения верхней строки таблицы мы получаем выражение, которое упрощается в точности до 26 + 24 + 23 + 20.
Если мы пронумеруем строки столбца деления (верхняя строка обозначается как строка 0, затем 1, 2 и вплоть до нижней строки 6), то увидим, что нечетные значения в столбце деления содержатся в строках 0, 3, 4 и 6. Теперь заметим важнейшую закономерность: номера этих строк в точности совпадают с показателями степеней в найденном нами выражении для 89: 26 + 24 + 23 + 20. И это совпадение не случайно; способ построения столбца деления означает, что нечетные значения всегда находятся в строках, номера которых равны показателям степени в сумме степеней 2, равной нашему исходному числу. Когда мы вычисляем сумму элементов столбца умножения с этими индексами, мы фактически суммируем произведения 18 на степени 2, дающие в сумме 89, поэтому результат будет равен 89 × 18.
